ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

29 ιέ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ Α∠, ὀρθὴ δέ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία δεῖξαι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεὺς πρὸς τὸ μεὺςΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην. Ηχθὼ τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς Α∠ περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθα ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα ,καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον, οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Β τρίγραμμον διά τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνίας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, κείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ∠ΑΒ τριγραμμου μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς ρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν BAH τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΕ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΖ, καὶ συνθέντι ὁ ∠ΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὀρθὴ γενία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ (ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΖΑΓ κάθετον εἶναι τὴν ΑΒ, καὶ ὅμοιον τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ ΑΓΖ).