Book 3

11 ζ΄. Γετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν· δεῖξαι δοθεῖσαν τὴν ἐπιζευγνύουσαν τὰ θειῶν· β σημεῖα . Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ κάθετοι ἥχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ ἡ ΑΗ, ἐπὶ δέ τὴν AΓ ἡ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν ,καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΒE, δοθεῖσα ἄρα ἔσται β καὶ ἑκάστη τῶν ΑE EΓ· ΑΓ ΒΕ (καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ BΓ γίνεται δοθέν καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, ὥστε ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ ΒΕ ἔσται δοθεῖσα). πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΗ, δοθεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ (καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχή τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ἀ παρά τὴν Γ∠ παραβληθεῖσα ποιεῖ δοθεῖσαν τὴν τῆς Γ∠ πρὸς Η∠ ὑπεροχήν, ὡς ἔστι λῆμμα· ὥστε καὶ ἑκάστην τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ δεδόσθαι. . καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἥ τε ΑΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν EΖ. καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος· δοθεῖσα ἄρα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΒΓ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΖΒ ΒΓ ΓΖ δοθεῖσα. ἤχθω δὴ κάθετος ἐτὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΖΘ ΘΓ· ΒΘ· ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΒ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΘ∠ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Β∠.