Book 3

17 τγ΄. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΑΒ ∠,καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β ∠,καὶ τῇ Β ∠πρὸς ὀρθάς ἤχθω ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒE, καὶ αὐτῇ πρὺς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠,οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ· ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ ∠γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίᾳ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἡ ΗΚ· ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΕ. καὶ ἔστιν ἀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν Β ∠E· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ BΚ Κ ∠ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗK τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ τῶν ΚΕ ∠γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίᾳ ἴσην, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Κ τῇ ΚΕ, ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠γωνία τῇ ὑπὸ Κ ∠Ε, ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ∠ΕΘ ἴση ἐστίν ,ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Κ τῇ ΕΘ. Ἤχθω καὶ τῇ σΕ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Γ ∠ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ∠Ε ἐστὶν παράλληλος, ἡ δὲ ΚΗ τῇ EΖ, ζητεῖται δὲ καὶ ἡ Κ ∠τῇ ΕΘ παράλληλος, ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ μὲν ΚΛΗ τρίγωνον τῷ Κ ∠Ζ τριγώνῳ, τὸ δὲ ∠ΚΗ τῷ ΕΘΖ, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΛΗ πρὸς ΗK, ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΕ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠,ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ· ὅτι ἄρα καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠,οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ (διʼ ἴσου γάρ)· ὅτι ἄρα καὶ ἁς ἡ Λ ∠πρὸς τὴν ∠Η, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΖ (διελόντι γάρ). ὑπέκειτο δέ καὶ ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Λ ∠πρὸς ∠Η, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ ,τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ Λ ∠τῇ ΑΗ· ὃτι ἄρα καὶ ἡ ΛΑ τῇ ∠Η ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ Ἀὲ τῇ Β ∠ἐστὶν ἴση ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῇ ΗΒ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΒΗ ἑκατέρᾳ τῶν Λ ∠ΑΗ ἐστὶν ἴση ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΒΛ τῇ Λ ∠ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ· ἐπεὶ γάρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Ε, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Κ τῇ ΚΕ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν BΚΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΚ ∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ BΚ τῇ Κ ∠καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση, καὶ ἡ ΒΛ ἄρα τῇ Λ ∠ἐστὶν ἴση.