Book 3

18 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ᾗ ∠Κ τῇ ΚΕ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ΚΕ ∠ἀλλʼ ἡ μέν ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕ ∠τῇ ὑπὸ ΒΚΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΛ Ε ∠παραλλήλους· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ καὶ ἡ BΚ εὐθεῖα τῇ Κ ∠ἴση καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΛ βάσει τῇ Λ ∠ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΛΒ ∠τῇ ὑπὸ B ∠Α, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΒ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒ ∠λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ Β ∠Η τῇ ὑπὸ ΒΑΛ ἐστὶν ἴση δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν τὰ Β ∠ΗΒΑΛ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευράν τὴν ΑΒ τῇ Β ∠ἴση ἔρα ἡ μέν ΒΗ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ∠Η τῇ ΛΑ, ὥστε καὶ ἡ Λ ∠τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠,ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ Λ ∠,ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Λ ∠πρὸς ∠Η, ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ· συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠,ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ. ἔστιν δέ καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗK, ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΕ ἐξ ἰσου ἄρα καὶ ὡς ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠,ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ. καὶ ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΘ τῇ ὑπὸ ΚΗ ∠διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΕΖ ΚΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ τῇ ὑπὸ Κ ∠Η· παράλληλος ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Κ ∠τῇ ΕΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΕΘ.