Book 3

20 τέ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΖΒ ΒΜ περὶ κέντρα τὰ Α Γ ἐχαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β, καὶ μείζων ἔστω ὁ ΒΜ, ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Κ Λ περὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ (πεσοῦνται δὴ διὰ τῶν Κ Λ) ,καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Κ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη τεμεῖ μὲν τὸν ΖΒ κύκλον, συμπίπτει δὲ τῇ διὰ τῶν Α Γ κέντρων ἐκβαλλομένη εὐθείᾳ διὰ τύ μείζονα εἶναι τὴν ΑΚ πλευρὰν τῆς Γ ∠τοῦ ΑΚ ∠Γ τραπεζίου συμπιπτέτω οὖν κατὰ τὸ Ε τέμνουσα τὸν κύκλον κατὰ τὸ ∠· δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς BΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. Ἔστιν δὲ φανερόν · γίνεται γὰρ ἰσογώνια τὰ Γ ∠Λ ΛΚΗ τρίγωνα τάς κατά κορυφὴν γωνίας ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς Γ Η γωνίας τὰς πλευράς ἀνάλογον ,ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ∠ΓΗ ΓΗΑ γωνίας ἐναλλάξ, καὶ παράλληλον τὴν Γ ∠τῇ ΑΗ, καὶ ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΓ, τὴν ΑΚ πρὸς Γ ∠,τουτέστιν τὴν ΑΒ πρὸς BΓ.