Book 3

21 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν. ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ Κέστιν ἐπʼ τὐθείας γίνεται τῇ ∠Ε. Παράλληλός τε γάρ ἐστιν ἡ ΑΚ τῇ Γ ∠καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς βΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς Γ ∠· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ Κ ∠τῇ ∠Ε. εἰ γὰρ ἡ διὰ τῶν Κ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ ∠,ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ, ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως οὐδὲ τοῦ ∠ἐκτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν Γ ∠ἐκβληθεῖσαν, βληθεἴσαν, οἷον κατὰ τὸ Ν· ἔσται γὰρ πάλιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΝ, ὅπερ ἀδύνατον ἔστιν γὰρ πρὸς τὴν Γ ∠. Ἢ οὕτως. διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχθω, καὶ γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΓΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΓΝ, πρὸς Γ ∠,διελόντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ἡ Ν ∠τρὸς ∠Γ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ, πρὸς Ν ∠,οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς Γ ∠. καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ν Γ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ Ε ∠Γ τρίγωνον τῷ ∠ΝΚ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε ∠Γ γωνία τῇ ὑπὸ Ν ∠Κ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΓΝ· εὐθεῖα ἄρα καὶ ἡ Κ ∠Ε.