Book 3

26 ιη´ Τούτων προτεθεωρημένων ὑποκείσθω ἡμικύκλιον τὸ ΒΗΓ, καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφθω τὸ ∠,καὶ ἐπὶ τῶν Β∠ ∠Γ ἡμικύκλια γεγράφθω τὰ ΒΕ∠ ∠ΥΓ, καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐχαπτόμενοι τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Α ΠΟ, καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αὐτῶν κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΑΜ ΠΝ ΟΣ· λέγω ὅτι ἡ μὲν ΑΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου ,ἡ δὲ ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου, ἡ δὲ ΟΣ τριπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς. Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ BΓ, καὶ αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ κατὰ τὰ προγεγραμμένα τὸ μὲν ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ ΜΒ Β∠, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ τῷ ὑπὸ ΚΓ∠. καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ· ἑκάτερος γὰρ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Β∠ πρὸς ∠Γ (ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπο ΓΒ ΒΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΛΒ Β∠, ἔστιν ἅρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ, οὕτως ἡ ∠Β πρὸς ΒΚ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ· διελόντι ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β, ἡ ΛΚ πρὸς ΚΒ· ἀνάπαλιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Γ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ· πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΓ Γ∠, ἔστιν ἔρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΛ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠, ἡ ΚΓ πρὸς τὴν ΓΛ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ B∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΓ· ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν Γ∠, ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ KΛ πρὸς τὴν ΛΓ)· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΓΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. προδέδεικται δὲ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον καὶ τῷ ἀπὸ ΑΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΚΛ, τουτέστιν τῇ ΖΘ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου. ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦτο προδέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τήν τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διάμετρον, καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ διπλῆ τῆς ΖΘ, ἔσται καὶ ἡ ΠΝ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διπλῆ. ἡ ΠΝ ὥρα μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου τριπλασία τῆς διαμέτρου, καὶ ἔστιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἡ ΟΣ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου καὶ ἡ ΟΣ ἄρα τριπλασία τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ 0 κύκλου. καὶ ὁμοίως καὶ ἡ τοῦ ἑξῆς κύκλου κάθετος τῆς διαμέτρου τετραπλασία, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν καθʼ αὐτὰς διαμέτρων εὑρεθήσονται πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς, καὶ τοῦτο συμβαῖνον ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀποδειχθήσεται. 27 Ἂν δʼ ἀντὶ τῶν BΗΓ. ∠ΥΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν ὀρθαὶ πρὸς τὴν Β∠, ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης ἔχει καταγραφῆς, τὰ αὐτὰ συμβήσεται περὶ τούς ἐγγραφομένους κύκλους· αὐτόθεν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β∠ ἴση γίνεται τῇ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου διαμέτρῳ. Ἂν δὲ αἱ μὲν ΒΗΓ ΒΕ∠ μένωσιν περιφέρειαι, ἀντὶ δὲ τῆς ∠ΥΓʼ περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεθῇ (ὡς ἐπὶ τῆς τετάρτης ἔχει καταγραφῆς) ἡ ∠Ζ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΓ, τῆς μὲν BΓ πρὸς τὴν Γ∠ τετραγωνικὸν ἐν ἀριθμοῖς λόγον ἐχούσης, σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος τῇ διαμέτρῳ μέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, εἰ δὲ μή, ἀσύμμετρος. καθόλου γὰρ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον δυνάμει ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, ὡς ἑξῆς δείκνυται. οἷον ἐὰν ἦ τετραπλασία μήκει ἡ ΒΓ τῆς Γ∠, γίνεται διπλῆ μήκει ἡ ∠Ζ, τουτέστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος, τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου ,καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Π τριπλῆ, δʼ ἀπὸ τοῦ O τετραπλῆ, καὶ ἑξῆς κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς.