Book 3

28 ιθ´ Τὸ ὑπερτεθὲν λῆμμα. ἡμικύκλια τὰ BΗΓ ΒΑ∠, καὶ ἀρθὴ ἡ ∠Ε, καὶ κύκλος ἐφαπτόμενος ὁ ΘΗΖΑ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ μήκει, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου δυνάμει. Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ· εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΖΑΒ ΘΑ∠. κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἔσται ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς1Β∠ τετραγώνῳ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΒ∠, οὕτως ἡ ΒΒ∠ πρὸς Β∠Κ, τουτέστιν πρὸς ΘΖ. ὡς δὲ ἡ ΒΒ∠ πρὸς ΘΖ, ἡ Β∠Α πρὸς ΘΑ, ὡς δὲ ἡ Β∠Α πρὸς ΑΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ (ὀρθογώνιον γάρ ἐστιν τὸ ΘΖ∠, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν ἡ ΖΑ)· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς Γ∠, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου.