Book 3

54 Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΚΛΜ περὶ πόλον τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ μεγίστου κύκλου τεταρτημύριον γεγράφθω τὸ ΘΝΚ ,καὶ ἡ μέν ΘΝΚ περιφέρεια, περὶ τὸ Θ μένον φερομένη κατὰ τῆς ἐπιφανείας ὡς ἐπὶ τὰ Λ Μ μέρη, ἀποκαθιστάσθω πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτό, σημεῖον δέ τι φερόμενον ἐπʼ αὐτῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ παραγινέσθω· γράφει δή τινα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἕλικα, οἳα ἐστὶν ἡ ΘΟΙΚ ,καὶ ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ Θ γραφῇ μεγίστου κύκλου περιφέρεια ,πρὸς τὴν ΚΛ περιφέρειαν λόγον ἔχει ὃν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ0· λέγω δὴ ὅτι, ἄν ἐκτεθῇ τεταρτημύριον τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τὸ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠,καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΓΑ, γίνεται ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ΘΟΙΚ ἕλικος καὶ τῆς ΚΝΘ περιφερείας ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς πρὸς τύ ΑΒΓ τμῆμα. Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΓΖ ,καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΑΕΖ· ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ τομεὺς τῷ ΑΕΖΓ (διπλασία μὲν γὰρ ἡ πρὸς τῷ ∠γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΖ, ἥμισυ δέ τὸ ἀπὸ ∠Α τοῦ ἀπὺ ΑΓ)· ὅτι ἄρα καὶ ὡς αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ὁ ΑΕΖΓ τομεύς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα.