Book 3

55 ἔστω, ὃ μέρος ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ὅλης τοῦ κύκλου περιφερείας, καὶ τὸ αὐτὸ μέρος περιφέρεια ἡ ΖΕ τῆς ΖΑ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΕΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒΓ τὸ αὐτὸ μέρος. ὃ δέ μέρος ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας, τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ ΑΒΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΒΓ. γεγράφθω περὶ πόλον τὸν Θ διὰ τοῦ Ο περιφίρεια ἡ ΝΟ ,καὶ διὰ τοῦ B περὶ τὸ Γ· κέντρον ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΛΚΘ σφαιρικὴ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΟΘΝ, ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν οὗ ἡ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶν ἡ Θ0 ,ὡς δʼ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν, οὕτως ἐστὶν τύ ἀπὸ τῆς τὰ Θ Λ ἐπιζευγνυούσης εὐθείας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ Ο ,ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ΚΛΘ τομεύς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ πρὸς τὸν ΟΘΝ ,οὕτως ὁ ΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΗΓ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ ὡς πάντες οἱ ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΚΛΘ ,οἳ εἰσιν ἡ ὕλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια, πρὸς τούς περιγραφομένους περὶ τὴν ἕλικα τομέας ὁμοταγεῖς τῷ ΟΘΝ ,οὕτως πάντες οἱ ἐν τῷ ΑΖΓ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΕΖΓ, τουτέστιν ὅλος ὁ ΑΖΓ τομεύς, πρὸς τούς περιγραφομένους περὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τούς ὁμοταγεῖς τῷ ΓΒΗ. τῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιράνεια πρὸς τούς ἐγγραφομένους τῇ ἕλικι τομέας, οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς πρὸς τοῖς ἐγγραρομένους τῷ ΑΒΓ τμήματι τομέας, ὥστε καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ὑπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς, τουτέστιν τὸ ΑΒΗ∠ τεταρτημόριον, πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα.