Book 3

62 λη΄. Δεδειγμένου δή τούτου τρίχα τέμνεται ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος οὕτως. Ἔστω γὰρ ὀξεῖα πρότερον ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπό τινος σημείου κάθετος ἡ ΑΓ, καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ΓΖ παραλληλογράμμου ἡ ΖΑ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ παραλληλογράμμου ὄντος ὀρθογωνίου τοῦ ΓΖ κείσθω μεταξὺ τῶν ΕΑΓ εὐθεῖα ἡ Ε∠ νεύουσα ἐπὶ τὸ Β ἴση τῇ διπλασίᾳ τῆς ΑΒ (τοῦτο γάρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι προγέγραπται)· λέγω δὴ ὅτι τῆς δοθείσης γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΒΓ τρίτον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ. Τετμήσθω γὰρ ἡ Ε∠ δίχα τῷ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ∠Η ΗΑ ΗΕ ἴσαι εἰσίν· διπλῆ ἄρα ἡ ∠Ε τῆς ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῆς ΑΒ διπλῆ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΑΗ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗ∠. ἡ δὲ ὑπὸ ΑΗ∠ διπλασία τῆς ὑπὸ ΑΕ∠, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ ἄρα διπλῆ ἐστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ. καὶ ἐὰν τὴν ὑπὸ ΑΒ∠ δίχα τέμωμεν, ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τρίχα τετμημένη.