Book 3

61 λζ΄. Συντεθήσεται δή τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμμον τὸ ΑΒΓ∠, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα τῷ μεγέθει ἡ Μ, καὶ ἵση αὐτῇ ἔστω ∠Κ, καὶ γεγράφθω διὰ μέν τοῦ ∠περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολή ἡ ∠ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς ἀποδείξομεν), διὰ δὲ τοῦ Κ περὶ κέντρον τὸ ∠κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν ὑπερβολὴν κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ∠Γ παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΗΖ ἐπεζεύχθω ΖΑ λέγω ὅτι ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶν τῇ M. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ τῇ ΚΑ παράλληλος ἥχθω ἡ ΗΛ. τὸ ἔρα ὑπὸ ΖΗΛ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Γ∠Α, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΓ Γ∠. ἔσειν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΖΗ· ἡ ἄρα Ε∠ ἴση τῇ ΖΗ· παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ∠ΕΖΗ· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ∠Η, τουτέστιν τῇ ∠Κ, τουτέστιν τῇ M.