Book 3

65 μα΄. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν πρόβλημα νῦν ἀναλύσομεν. θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ καὶ δοθέντος σημείου τοῦ ∠γράψαι διὰ τοῦ ∠περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολήν. Γεγονέτω, καὶ γεγράφθω ἡ Ε∠Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ ποῦ ∠ἐφαπτομένη αὐτῆς ἡ Α∠Γ, καὶ διάμετρος ἡ ΗΒ∠, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ. θέσει ἄρα αἱ Η∠ ∠Θ, καὶ δοθὲν τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΑΒΓ τῆς ὑπερβολῆς, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, καὶ τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας αὑτῶν τετράγωνον ἴσον ἐστίν τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους. ταῦτα γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ τῶν κωνικῶν ἀποδέδεικται. ἐπεὶ οὖν ἴκη ἡ Γ∠ τῇ ∠Α, ἴση καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΑ. καὶ δοθὲν τὸ Θ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἡ Α∠Γ. καὶ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἡ ΑΓ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ πρὸς τῇ Η∠ εἴδει. δοθέν ἄρα καὶ τύ πρὸς τῇ Η∠ εἶδος. καὶ δοθεῖσα ἡ Η∠ (διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Β∠ τῷ μεγέθει δεδομένης διὰ τὸ δοθέν ἑκάτερον εἶναι τῶν Β Δ)· δοθεῖσα ἔρα καὶ ἡ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά. γέγονεν δὴ πρόβλημα τοιοῦτον· θέσει καὶ μεγέθει δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῆς τε Η∠ καὶ τῆς ὀρθίας γράψαι περὶ διάμετρον τὴν Η∠ ὑπερβολήν, ἧς παρʼ ἣν δύνανται ἔσται ἡ λοιπὴ εὐθεῖα, καὶ αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν Η∠ παράλληλοι ἔσονται θέσει τινὶ εὐθείᾳ τῇ ΑΓ. τοῦτο δὲ ἀναλέλυται ἐν τῷ πρώτῳ τῶν κωνικῶν.