Book 3

66 μβ΄. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ θέσει δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ ∠,καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Θ, τῇ δὲ ΒΘ ἴση ἡ ΘΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ, ἐπιζευχθεῖσα δέ καὶ ἡ Β∠ ἐκβεβλήσθω καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΗ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς Η∠ καὶ ἑτέρας τινὸς τῆς Κ, καὶ περὶ διάμετρον τὴν Η∠ καὶ ὀρθίαν τὴν Κ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ Ε∠Ζ ,ὥστε τὰς καταγομένας ἐπὶ τὴν Η∠ παραλλήλους εἶναι τῇ ΑΓ· ἡ ἄρα ΑΓ ἐφάπτεται τῆς τομῆς. καὶ ἔστιν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ ἴση (ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ) ,καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Γ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους· αἱ ἄρα ΑΒΓ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς Ε∠Ζ ὑπερβολῆς· γέγραπται ἅρα διὰ τοῦ ∠περὶ τὰς δοθείσας εὐθείας ἀσυμπτώτους ὑπερβολή.