Book 3

67 μγ΄. Καὶ ἄλλως τῆς δοθείσης περιφερείας τὸ τρίτον ἀφαιρεῖται μέρος, χυρὶς τῆς νεύσεως, διὰ στερεοῦ τόπου τοιούτου. Θέσει ἡ διὰ τῶν Α Γ, καὶ ἀπὸ δοθέντων ἐπʼ αὐτῆς τῶν Α Γ κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ διπλασίαν ποιοῦσα τὴν ὑπὸ ΑΓΒ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΓΑΒ· ὅτι τὸ Β πρὸς ὑπερβολῇ. Ἤχθω κάθετος ἡ Β∠, καὶ τῇ Γ∠ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ∠Ε· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΒΕ ἴση ἔσται τῇ ΑΕ. κείσθω καὶ τῇ ∠Ε ἴση ἡ ΕΖ· τριπλασία ἄρα ἡ ΓΖ τῆς Γ∠. εστω καὶ ἡ ΑΓ τῆς ΓΗ τριπλασία· ἔσται δὴ δοθέν τὸ Η, καὶ λοιπή ἡ ΑΖ τῆς Η∠ τριπλασία. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ ΒΕ ΕΖ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ Β∠ ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Α ΑΖ τῶν οὐτῶν ὑπερυχή, ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΑΖ ,τουτέστιν τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Η, ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠· πρὸς ὑπερβολῇ ἄρα τὸ Β, ἧς πλαγία μὲν τοῦ πρὸς ἄξονι εἴδους ἡ ΑΗ, ἡ δέ ὀρθία τριπλασία τῆς ΑΗ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον ἀπολαμβένει πρὸς τῇ Η κορυφῇ τῆς τομῆς τὴν ΓΗ ἡμίσειαν τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς τῆς ΑΗ. Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γάρ τὴν ΑΓ τεμεῖν ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΗΓ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΑΗ γράψαι διὰ τοῦ Η ὑπερβολήν, ἧς ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά τριπλασία τῆς ΑΗ, καὶ δεικνύναι ποιοῦσαν μὐτὴν τὸν εἰρημένον διπλάσιον λόγον τῶν γωνιῶν. καὶ ἔτι τῆς δοθείσης κύκλου περιφερείας τὸ γ΄ ἀποτέμνει μέρος ἡ τοῦτον γραφομένη τὸν τρόπον ὑπερβολὴ συνιδεῖν ῥάδιον τῶν Α Γ σημείων περάτων τῆς περιφερείας ὑποκειμένων.