ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

36 Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕεαστον ἔχει τῶν πολυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαριθκηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν ἅς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχαντα τὸ πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς οὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλʼ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἕκάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῖ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ΄ πολυέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις δ΄ καὶ ἑξαγώνοις δ΄ ,γωνίας μὲν ἔχει στερεάς ιβ΄, πλευρὰς δὲ ιη΄ τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἳ τε γωνίαι ιβ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ΄, τῶν δέ δʼ ἑξαγόνων αἳ τε γωνίαι κδ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδ΄ γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ΄ ,τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϚ΄ ,ὥστε εἶναι πλευράς ιη΄ . τῶν δέ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τριγόνοις η΄ καὶ τετραγώνοις Ϛ΄ ,ὥστε ἔχειν στερεάς μέν γωνίας β΄ (ἑκάστη γάρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γαωνιῶν περιέχεται), πλευρὰς δέ κδ΄ τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων ,ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ ,ἔξει στερεάς μὲν γωνίας κδ΄ (ἑκάστη γάρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ΄ γωνιῶν ἐπιπέδων), πλευρὰς δέ λϚ΄. τὸ δὲ τρίτον τῶv τετρακαιδεκαέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ή καὶ ῤκταγώνοις Ϛ΄ ,ἕξxι στερεὰς μὲν χωνίας κδ΄ ,πλευρὰς δὲ λϚ΄. τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μέν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις τε ή καὶ τετραγώνοις ιή ,ἔξει στερεὰς μέν γωνίας κδ΄ ,πλευράς δὲ μή . τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων ,ἐπεὶ περιέχεται τετραγόνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις ή καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἔξει στερεάς μέν γωνίας μή . πλευρὰς δὲ οβ΄. τῶν δέ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μέν πρῶτον ,ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεάς μὲν γωνίας λ΄ ,πλευρὰς δὲ ξ΄. τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγμὸνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις κ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ç΄. τὸ δέ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεί περιέχεαι τριγύνοις τε κʼ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ç΄. τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεί περιέχεται τριγμώνοις τε λβ΄ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ΄, πλευρὰς δέ ξ΄. τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεάς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ρκ΄. τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ΄ καὶ ἑξαγύνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ΄, πλευρὰς δὲ ρπ΄. τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγμώνοις τε π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὲς δὲ ρν΄. 37 Ταῦτα μὲν οὖν τὰ ιγ΄ σχήματα ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περὶεχόμενα διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσθω τὸ νῦν ,τὰ δὲ καλούμενα έ σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς γωνίας ἴσας ἔχει, καὶ διὰ τοῦτʼ εὔτακτα παρὰ τὰ λοιπὰ μᾶλλόν ἐστιν. ὅτι δὲ πλείω τῶν ε΄ τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγόνοις περιλαμβανύμενα, καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό τινων ἄλλων ἀποδέδεικται. συγκρίνμωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαίρᾳ. 38 Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν ᾗ τὸ Α, ἒν δέ τι τῶν προειρημένων ε΄ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς Α σφαίρας λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ σφαῖρα. Νοείσθω γὰρ εἰς τύ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαίρα, ὥστε τῶν περιεχόντων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι· μείζμων ἄρα ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας· περιέχει γὰρ αὐτήν. ἀλλʼ ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς Α σφαίρας ἐπιφανείᾳ, ὥστε καὶ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ πολυέδρῳ σφαίρας· καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς Α σχαίρας μείεζων ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας. ἴση δὲ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς Α σφαίρας, ὥψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς A σφαίρας, μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης ὐθύγραμμον τὸ ἴσον τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ καὶ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας. ἀλλʼ ὁ μὲν κῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ Α σφαίρᾳ (τοῦτο γὰρ ἐκ τῶν ὑπʼ Ἀρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφ’ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημμάτων ἐστὶ φανερόν), ἡ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ· μείζων ἄρα καὶ ἡ Α σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου.