ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

46 κδ΄ (ε΄). Διῃρήσθω δὲ πάλιν ἡ τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα ὑποσαοῦν, ἀφ᾿ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται· ὅτι αἱ ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινύμεναι ἐπιφάνειαι κατά τὴν ὐμοίαν στρυρὴν ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ. Κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠Ε Ζ Η ἐπὶ τὴν διάμετρον. διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ Ξ∠ καὶ καθέτους τὰς ΓΑ ∠Κ ,τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συνσμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ τοῦτο γὰρ β΄ θεωρήιματι προδέδεικται. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ διὰ τὸ αὐτὸ Ἀρχιμήδους ιζ΄ θεωρημα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ κύκλος οὖ ἡ ἐκ ταῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ, διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ∠Ο τῇ ΟΕ, ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Ε γινομένη ἐπιφανείᾳ. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ AB ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ πασῶν τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ. κε΄. Ἤ οὕτως τὸ αὐτό. ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ∠ΕΖΗΘΒ πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΡΣ, καὶ κάθετοι ὁμοίως ἤχθωσαν· γίνεται δὴ διπλῆ ἡ μὲν Γ∠ τῆς ΓΡ, ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον, καὶ διὰ τοῦτο Γ∠ μετὰ τῆς Γ∠Θ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΘΣ. ὑποτείνει δὲ τὴν Γ∠Θ ἡ, ἐπὶ τὰ Γ Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση τῇ ΑΒ ἔσται δὴ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BΑΚ, ἵκον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑ ΚΛ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠Κ ΕΛ καὶ τῆς ∠Ε. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ πάντα ἅρα πᾶσιν ἴσα καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε Ε∠ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐτιφανείαις.