ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

45 κγ΄ (δ΄), Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὕτι, ἐὰν ἡμικνκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓ∠ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, αἱ ὑπὸ τῶν ἐτιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ Η∠ κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι είσίν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζεοχθείσης τῆς ΕΒ, τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ. Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς Η∠ ινομένη ἐτιτάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὐπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠ . λέγει γάρ Ἀρχιμήδης ὅτι ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κύνου τῆς μεταξύ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς περαλλήλοις ἐπιπέδοιςʼ᾿ ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς Η∠ γινυμένη ἐπιμφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠, ὅπερ ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΕΒ ΚΘ ἵσον. ἡ δέ ὑπὸ τῆς ΓΗ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΛΚ ,καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς ΑΕ κωνικὴ ἐπιφάνεια γινομένη ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΝ, ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ (καὶ γὰρ ἰσογώνία ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνα, καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ΑΕ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ. καὶ τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν). καὶ ἡ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν ∠Η ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γινομένη σύνθετος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ. ∠ῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα διαιρεθῇ, ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὐμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ.