ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

5 Ὑποκείσθω γάρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τουτέστιν ὃν δ΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δ΄ πρὸς γ΄, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γ΄ πρὸς β΄ καὶ δ΄΄. ὡς δὲ καὶ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄ καὶ δ΄΄, οὔτως αὐτὰ τὰ β΄ δ΄΄ πρὸς ἄλλην ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ. Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄ καὶ ἔστιν ὡς τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄, οὕτως τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ η΄΄· ὡς δέ τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄, οὕτως τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄ πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξύ πίπτει τῶν Θ Ρ. Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πενταπλάσιος λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ι΄ πρὸς τὰ Ϛ΄. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ι΄ πρὸς τά Ϛ΄, οὕτως αὐτὰ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄· ὡς δὲ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄, οὕτως αὐτὰ τὰ γ΄ S ι΄΄ πρὸς μείζονά τινα τῶν δύο. καὶ ἔστιν ἡ ΘΡ οὐτῶν τῶν δύο· μεταξύ ἄρα τῶν Ρ Γ τὸ σημεῖον πίπτει τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λύγου.