ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

74 με΄ (β΄). Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας. Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου τὸ ΑΒΓ, ἐν τῇ σφαίρᾳ ὄν, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιρικῶν ὅτι τὸ Ε κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ Β∠· ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ∠Ε. Ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ὀκταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς, ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει τετραπλασία, διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Β∠. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ BΓ τοῦ μὲν ἀπὸ ΒΕ τριπλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων, τοῦ δέ ἀπὸ Β∠ διπλάσιον, τὸ ἄρα ἀπὸ Β∠ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἡμιόλιον. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΕ∠ ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ ΒΕ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ τοῦ ἀπὸ ∠Ε· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ Ε∠, τουτέστιν τὸ ἀπὸ B∠, τοῦ ἀπὸ ∠Ε.