ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

90 νϚ΄ (ιγ΄). Ἄλλως ὅτι αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καί τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον. Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δωδεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου πεντάγωνον τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλῳ περιεχόμενον τῷ Γ∠Ε, εἰκοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ ΠΡΣ· λέγω ὅτι οἱ κύκλοι ἴσοι εἰσίν, τουτέστιν ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον. Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγ΄ στοιχείων. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ κάθετος ἀπʼ αὐτοῦ ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ (ἡ γάρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων) τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ.