Section 22

δεδειγμένου δʼ ὅτι ὁ Πλάτων οὔτʼ ἀγνοίᾳ οὔτʼ ἀπειρίᾳ τὰ ἄλλα παρῃτήσατο ἀλλʼ ὡς οὐ πρέποντα τοιαύτῃ πολιτείᾳ, δείξομεν ἑξῆς ὅτι ἔμπειρος ἁρμονίας ἦν. ἐν γοῦν τῇ ψυχογονίᾳ τῇ ἐν τῷ Τιμαίῳ τήν τε περὶ τὰ μαθήματα καὶ μουσικὴν σπουδὴν ἐπεδείξατο ὧδέ πως· καὶ μετὰ ταῦτα συνεπλήρου τά τε διπλάσια καὶ τὰ τριπλάσια διαστήματα, μοίρας τʼ ἐκεῖθεν ἀποτέμνων καὶ τιθεὶς εἰς τὸ μεταξὺ τούτων· ὥστʼ ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας. ἁρμονικῆς γὰρ ἦν ἐμπειρίας τοῦτο τὸ προοίμιον, ὡς αὐτίκα δείξομεν. τρεῖς εἰσι μεσότητες αἱ πρῶται, ἀφʼ ὧν λαμβάνεται πᾶσα μεσότης, ἀριθμητική, ἁρμονική, γεωμετρουμένη. τούτων ἡ μὲν ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται ἡ δʼ ἴσῳ λόγῳ ἡ δʼ οὔτε λόγῳ οὔτʼ ἀριθμῷ, ὁ τοίνυν τὴν ψυχικὴν ἁρμονίαν τῶν τεσσάρων στοιχείων καὶ τὴν αἰτίαν τῆς πρὸς ἄλληλα ἐξ ἀνομοίων συμφωνίας δεῖξαι ἁρμονικῶς βουληθεὶς ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο μεσότητας ψυχικὰς ἀπέφηνε κατὰ τὸν μουσικὸν λόγον. τῆς γὰρ διὰ πασῶν ἐν μουσικῇ συμφωνίας δύο διαστήματα μέσα εἶναι συμβέβηκεν, ὧν τὴν ἀναλογίαν δείξομεν. ἡ μὲν γὰρ διὰ πασῶν ἐν διπλασίονι· λόγῳ θεωρεῖται· ποιήσει δʼ εἰκόνος χάριν τὸν διπλάσιον λόγον κατʼ ἀριθμὸν τὰ ἓξ καὶ τὰ δώδεκα· ἔστι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα ἀφʼ ὑπάτης μέσων ἐπὶ νήτην διεζευγμένων. ὄντων οὖν τῶν ἓξ καὶ δώδεκα ἄκρων, ἔχει ἡ μὲν ὑπάτη μέσων τὸν τῶν ἓξ ἀριθμόν, ἡ δὲ νήτη διεζευγμένων τὸν τῶν δώδεκα. λαβεῖν δὴ λοιπὸν χρὴ πρὸς τούτοις ἀριθμοὺς τοὺς μεταξὺ πίπτοντας· ὧν οἱ ἄκροι ὁ μὲν ἐπίτριτος ὁ δʼ ἡμιόλιος φανήσεται· εἰσὶ δʼ ὁ τῶν ὀκτὼ καὶ τῶν ἐννέα· τῶν γὰρ ἓξ τὰ μὲν ὀκτὼ ἐπίτριτα τὰ δʼ ἐννέα ἡμιόλια. τὸ μὲν ἓν ἄκρον τοιοῦτο, τὸ δʼ ἄλλο τὸ τῶν δώδεκα τῶν μὲν ἐννέα ἐπίτριτα τῶν δʼ ὀκτὼ ἡμιόλια. τούτων οὖν τῶν ἀριθμῶν ὄντων μεταξὺ τῶν ἓξ καὶ τῶν δώδεκα καὶ τοῦ διὰ πασῶν διαστήματος ἐκ τοῦ διὰ τεττάρων καὶ τοῦ διὰ πέντε συνεστῶτος, δῆλον ὅτι ἕξει ἡ μὲν μέση τὸν τῶν ὀκτὼ ἀριθμόν, ἡ δὲ παραμέση τὸν τῶν ἐννέα. τούτου γενομένου, ἕξει ἡ ὑπάτη πρὸς μέσην ὡς παραμέση πρὸς νήτην διεζευγμένων ἀπὸ γὰρ ὑπάτης μέσων διὰ τεττάρων ἐπὶ μέσην, ἀπὸ δὲ παραμέσης ἐπὶ νήτην διεζευγμένων διὰ πασῶν. ἡ αὐτὴ δʼ ἀναλογία καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν εὑρίσκεται ὡς γὰρ ἔχει τὰ ἓξ πρὸς τὰ ὀκτώ, οὕτω τὰ ἐννέα πρὸς τὰ δώδεκα· καὶ ὡς ἔχει τὰ ἓξ πρὸς τὰ ἐννέα, οὕτω τὰ ὀκτὼ πρὸς τὰ δώδεκα· ἐπίτριτα γὰρ τὰ μὲν ὀκτὼ τῶν ἓξ τὰ δὲ δώδεκα τῶν ἐννέα, ἡμιόλιά δὲ τὰ μὲν ἐννέα τῶν ἓξ τὰ δὲ δώδεκα τῶν ὀκτώ. ἀρκέσει τὰ εἰρημένα εἰς τὸ ἐπιδεδειχέναι ἣν εἶχε περὶ τὰ μαθήματα σπουδὴν καὶ ἐμπειρίαν Πλάτων.