Section 57

57. Φανερὸν οὖν, ὅτι p. 340, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὸ Α, ἔσται δῆλον οὕτως· ἐπεὶ δύο αἱ ΚΘΓ δυσὶν ταῖς ΚΘΑ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ διὰ τὰς περιφερείας, πάντα πᾶσιν· ὥστε γωνία ἡ ὑπὸ ΚΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΓΘ ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΘ∠ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΘ∠ διὰ τὸ τὰς ῥηθείσας ἴσας γωνίας ἐκ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν τὰς ὑπολοίπους δύο ἴσας καταλιμπάνειν, δύο αἱ ΓΘ∠ δυσὶν ταῖς ΑΘ∠ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑ∠ τῇ ὑπὸ ΘΓ∠. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΘΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΓΒ· ἡμικυκλίων γὰρ ἐφαρμοζομένων· ἐξ ὧν ἡ ὑπὸ ΚΑΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΘ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΠΗ· ἡ ἄρα ὑπὸ ∠ΓΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΑΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ∠ΓΗ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΑΡ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ∠ΑΡ.