SCHOLIA.

40. Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον, ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με- γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ, ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο- μένον, παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα. Ad prop. X. 41. P. 16, 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως. 42. Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ- τάσεως. τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο- διαιρεῖται. τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως συνεπεράνθη ἐνταῦθα. 43. Καὶ τὸ συναμφότερον p. 16, 24] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. 44. Ἔστω μέγεθος τὸ ῑ καὶ ἕτερον κγ, δοθέντα δὲ ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ῑ τοῖς δοθεῖσι γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. ἀφαιρείσθω ἴσους τῶν δοθέντων τῶν γα τὰ ῑ πρὸς τὰ κ δοθέντα, οἷον ὡς νῦν τῶν β λό- γων, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται. 45. Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ῑ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε Ƒ. οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους τοῦ ΒΓ ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν ῑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. καὶ ἔστω δοθὲν τὸ Α∠ ὂν γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ Α∠ τὰ γ, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ῑ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον· τῷ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο- θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον. ἐὰν μὲν οὖν τὸ δοθὲν ἴσον ᾖ τῷ ΑΒ, ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον η, τοῦ δὲ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ὄντος δ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ η ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΒ οἷον δ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ τὰ δ λόγον ὅλη ἡ ΑΓ μονάδων κ. ὅλη ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ἐστὶ(ν) ιη, ἡ δὲ ΒΓ η, ἡ δὲ Α∠ δύο. ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι, καὶ ὅτι λοιπὸν τὸ ΑΒ. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ ΑΓ ἀφέλω τὸ ΒΓ, τὸ λοιπόν ἐστι τὸ ΑΒ. δείκ- νυσιν οὖν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. μετὰ γὰρ τὸ ἀφαιρεθῆναι καὶ αὐτοῦ τὸ ΑΓ δοθέν, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον. πάλιν συν- αμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἔστω τὸ δοθὲν ἔλασσον τοῦ ΑΒ τὸ Α∠ καὶ ἔστω τὸ β. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ ὄντος η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τῶν ιη ἀφέλω τὸ Α∠ τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Γ τὰ ιϛ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ῑ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τὸ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ τῶν η δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· ἐὰν γὰρ ἀφέλω καὶ ἀπὸ τοῦ ΑΒ τῶν ῑ τὸ Α∠ δοθὲν τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ ἢ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ η λόγον ἔχει δοθέντα· τὸν γὰρ ἴσον. πάλιν συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἔστω τὸ δοθὲν μεῖζον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΕ καὶ ἔστω ιδ. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ οἷον η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ ιη ἀφέλω τὸ ΑΕ τὰ ιδ, τὸ λοιπὸν τὸ EΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὄροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ διὰ τούτου δείκνυσιν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ· τὸ γὰρ ΒΕ ἐστιν, πρὸς ὅ τὸ ἕτερον τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον· δοθέν ἐστιν· ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν. 46. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Β p. 18, 4–5] τοῦτο τὸ σχό- λιον τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P. πῶς λέγει· λοιποῦ τοῦ ∠Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς; ἐπεὶ γὰρ τοῦ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται τοῦ ∠Γ καὶ πρὸς τὸ ∠Β λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ε΄, ὥστε καὶ ἑκατέρου τῶν ∠Β, ΒΓ πρὸς τὸ ∠Γ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ διὰ τὸ η΄ καὶ τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. 47. Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p. 18, 7] ἐπεὶ γὰρ τοῦ Γ∠ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ, προσκείσθω πάλιν τὸ ἀπʼ ἀρχῆς δοθὲν τὸ Α∠· ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ. 48. Τὸ δὴ δοθέν p. 18, 15] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον. δύναμαι γὰρ αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις. 49. Λόγος ἄρα λοιποῦ p. 18, 22] δέδοται γὰρ τὸ ΕΓ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΑΕ, καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄· ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΕ· ἀλλὰ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ· καὶ τοῦ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΕ. 50. Μδετὰ τοῦ ἐξῆς p. 20, 2] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα. 51. Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ. 52. Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα· τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ. δοθέν ἐστιν, ὅλον τὸ ΑΕ.