SCHOLIA.

53. Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p. 20, 20] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄· ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε Γ∠ καὶ τὸ Α∠, ἑπόμενα δὲ τό τε ∠Β καὶ τὸ ∠Ε. ὡς γοῦν τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ. ὅλον γὰρ τὸ ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ∠Α καὶ τὸ Γ∠, καὶ ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε Ε∠ καὶ τὸ ∠Β. 54. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ὁ Γ∠ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς Α∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως Ε∠ πρὸς ∠Β, καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως ΕΒ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως Γ∠ πρὸς ∠Β, δέδοται δὲ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος. μᾶλλον συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν· ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ- νων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπό- μενα, ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ. 55. Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ια΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε ⊙. ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι· οἷον τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον, ἐὰν τὸ Α∠ δεδομένον, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· τοῦ γὰρ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ Α∠ δεδομένου ὑπάρχοντος, δεδομένον καὶ ῥητὸν ὃν καὶ ἄλογον, οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει· ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ Α∠, οὐ δύναται τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν. διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ∠Β τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ Β∠ δεδομένον τῷ Α∠ δεδομένῳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ- σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι. 56. Ὀ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p. 22, 6 –7] σχόλιον εἰς τὸ ια΄ θεώρημα ??· ἐν τῷ ια΄ θεωρήματι λαβὼν τὸ ΑΒ μέγεθος συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ καὶ ἀφελὼν τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΕ καὶ βουλόμενος δεῖξαι, ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγω, λέγει· γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε. ἐὰν οὖν βουλώμεθα ποιῆσαι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, κατασκευάσαντες ποιήσο- μεν οὕτως· ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ἴση τῇ ΖΓ. τουτέστιν ἡ ΑΕ, πρὸς τὴν Ε∠· δῆλον γάρ, ὅτι ποιοῦντες ὡς τὴν ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἄλλην τινά, πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΒΕ ποιήσομεν· γεγονέτω οὖν πρὸς τὴν Ε∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς Ε∠, συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε. ἱση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΑΓ διὰ τὸ τῇ ΑΕ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε. 57. Σχόλιον. ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ, ΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς Α∠. καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ, ΒΓ, οὕτως τὸ ∠Α πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς ∠Κ δοθείς. 58. Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ Γ∠ p. 22, 13] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ Α∠ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ∠Ε, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ Γ∠ πρὸς λοιπὸν τὸ ∠Β ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ· δοθεὶς δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β.