APPENDIX SCHΟLIΟRUM.

20. Καί ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 7] διὰ γὰρ τὸ ξς΄ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε καὶ τὸ δίς. 21. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 11–12] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη τῷ ιγ΄ θεωρήματι. 22. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 14] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη ἐν τῷ δ΄ θεωρήματι. 23. Τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ∠ p. 208, 17–18] ἐὰν γὰρ λάβωμεν τὴν βα μίαν εὐθεῖαν ὡς ἄτμητον, τὴν δὲ δαγ μίαν μὲν καὶ αὐτήν, τετμη- μένην δὲ κατὰ τὸ α, γίνεται τὸ ὑπό τε τῆς ἀτμήτου τῆς βα καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων τῶν δα, αγ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ α΄ τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων· ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αδ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αγ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς γαδ καὶ τῆς αβ. 24. Καὶ τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ∠ΑΓ p. 208, 26] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ∠Α τῇ Α∠ ὡς τὴν ∠ΑΓ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Γ πρὸς ὀρθὴν ἀναστήσωμεν τὴν Α∠, δηλαδὴ ἴσης μενούσης τῆς μὲν ∠Α τῇ ∠Α, τῆς δὲ ΑΓ τῇ ΑΓ, τῆς δὲ ΒΑ τῇ ΒΑ, ἔσται σαφὲς τὸ λεγόμενον· ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτω καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα. 25. Καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΑΓ p. 210, 2] ἔστω εὐθεῖα ἡ δε, καὶ κείσθω τῇ μὲν ∠Α ἴση ἡ δα, τῇ δὲ ΑΓ ἡ αγ, καὶ ἀπὸ τοῦ α τῇ δγ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ αβ, καὶ κείσθω ἡ αβ τῇ ΑΒ ἴση. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς δαγ πρὸς γα λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς δὲ ἡ δαγ πρὸς γα, οὕτως τὸ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ, καὶ τοῦ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ ἄρα λόγος ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν γα, αβ πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ξς΄ θεώ- ρημα· καὶ τὸ ὑπὸ δαγ, αβ ἄρα πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ θεώρημα. 26. Καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΓΖ p. 210, 21–22] ἐὰν γὰρ συμπληρώσωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βα, αγ παραλληλό- γραμμον ὡς τὸ αη, καὶ διὰ τοῦ ζ παράλληλον ἀγάγωμεν τῇ αβ, ἔπειτα ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βαζ, καταλείπεται, τὸ ζη παρ- αλληλόγραμμον, ὅ ἐστιν ὑπὸ τῶν βα, ζγ· τῇ γὰρ βα ἴση ἐστὶν ἡ ζκ. 27. Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἀφέλω- μεν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ, τὸ καταλειπόμενόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΖΓ. 28. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΑΒ p. 212, 6] εἰ γὰρ τὴν ΖΓ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΕΓ νοήσωμεν καὶ κοινὸν ὕψος τὴν ΒΑ, ἔσται τὸ λεγόμενον δῆλον· ὡς γὰρ ἡ ΕΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΑ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΒΑ, πρὸς τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΓ, ΑΒ. 29. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ p. 212, 7–8] διὰ τὸ τὴν ΓΕ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὴν ΒΑ ἐκβαλλομένην καὶ γίνεσθαι διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΕΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. 30. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω- μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον. τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓ, ΑΒ ἐστι τὸ ΑΒ, καὶ τὸ ΑΒ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ διὰ τοῦτο λόγον ἔχει πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δεδομένον. 31. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω- μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἴση ἐστὶ τῇ ΕΓ, ὡς ἔχει ἄνω τὸ σχόλιον.