APPENDIX SCHΟLIΟRUM.

32. Πῶς μὲν τὴν ὑπὸ ∠ΕΓ δύναμαι συστήσασθαι ἴσην τῇ ὑπὸ Α∠Γ χωρὶς τῶν Ἀπολλωνίου; οὕτως. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ Α∠Γ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ Α∠Γ. κείσθω οὖν ἴση τῇ ὑπὸ ΒΓ∠ ἡ ὑπὸ Β∠Ε, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ. ἔστι δὲ κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τοῦ τε ∠ΒΓ τρι- γώνου καὶ τοῦ ∠ΒΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Β∠Γ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΕΓ ἐστιν ἴση. 33. Πῶς δὲ δυνατὸν καθόλου ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου ὡς τοῦ α ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ὡς τὴν βγ καταγαγεῖν εὐθεῖαν ἴσην ποιοῦσαν γωνίαν τῇ δο- θείσῃ τῇ ὑπὸ δεζ; δείξομεν οὕτως. ἡ γὰρ ὑπὸ δεζ ἢ ὀρθή ἐστιν ἢ ὀξεῖα ἢ ἀμβλεῖα. εἰ μὲν οὖν ὀρθή, φανερόν· ἄγω γὰρ ἀπὸ τοῦ α κάθετον τὴν αη· καὶ ἔσται ἴση ἡ ε τῇ η. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὀξεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ μὲν τοῦ δ ἐπὶ τὴν εζ ἡ δθ, ἀπὸ δὲ τοῦ α ἐπὶ τὴν βγ ἡ αη, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ αη εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ α τῇ ὑπὸ εδθ ἴση ἡ ὑπὸ ηακ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δεζ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. ἐκ- βληθείσης ἄρα τῆς ζε ὀξεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ δελ. κάθετος οὖν ἤχθω ἡ δλ, καὶ τῇ ὑπὸ λδε ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ ηακ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δελ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη, ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ δεζ τῇ ἐφεξῆς τῇ ὑπὸ ακγ ἴση ἐστίν. Τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ p. 214, 6–7] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προ- ειρημένου τετραγώνῳ. 35. Ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β∠ p. 214, 7–8] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τρίτης ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας.