Section 18

18. Δεικτέον, πῶς μείζων ἡ ὑπὸ ΞΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα, ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΠΡΑ· ἀμβλεῖα γάρ· ἡ γὰρ ΑΡ πρὸς τὴν ΡΞ ἐστιν ὀρθή, οὐ μὴν καὶ πρὸς τὴν ΠΒ, ὅτι μηδὲ πρὸς τὸ ἐπίπεδόν ἐστιν ὀρθή, ἵνα καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας ποιῇ ὀρθὰς γωνίας, ἀλλὰ κέκλιται πρὸς αὐτό, καί ἐστιν ἡ κλίσις ὀξεῖα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΡΑ· ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΠΡΑ. μείζων ἄρα ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῆς ΑΞ ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΝΠΑ καὶ ὑπὸ ΞΡΑ ὀρθαί εἰσιν, ἐδείχθη δὲ ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· ὥστε καὶ τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΝΠΑ τοῦ ὑπὸ ΞΡΑ μεῖζον, καὶ ἡ τοῦ μείζονος διάμετρος μείζων· διάμετροι δέ εἰσι τῶν παραλληλογράμμων αἱ ΝΑ, ΞΑ· ἡμίση γὰρ τούτων τὰ τρίγωνα. ὥστε, ἐὰν ἡ ΡΞ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΠΝ, ἐφαρμόσει· ἴση γὰρ ταύτῃ· καὶ αἱ ΡΑ, ΑΞ ἐντὸς πεσοῦνται τῶν ΑΠ, ΑΝ· ἐλάττονες γὰρ αὐτῶν. ὥστε διὰ τὸ κα΄ τοῦ α΄ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΡΑΞ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν, ἐκδηλότερον οὕτω δειχθήσεται· ἐπεὶ τὸ ΑΒΡ τρίγωνον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Β· ἐκτὸς δὲ αὐτοῦ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ, μείζων ἔσται τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἀμβλεῖα ἄρα. ἀλλὰ καὶ τριγώνου τοῦ ΑΞΝ ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν μείζονα γωνίαν μείζων. ἡ ἄρα ΑΝ μείζων τῆς ΑΞ.