Section 82

82. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τῶν δὲ ὁρωμένων ἴσων μενόντων καὶ πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, τὰ ΑΒ, Γ∠ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται. ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, τὰ ΑΒ, Γ∠ ἴσα φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τοῦ Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΑ, ΖΓ, ΖΔ. ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ Ζ∠. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ὑπόκειται ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς Γ∠, ∠Ζ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖ ∠τῇ ὑπὸ ∠ΖΓ ἴση. ὥστε τὰ ΑΒ, ΓΔ ἴσα ὀφθήσεται. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η. λέγω, ὅτι ἄνισα ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, Η∠. μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς Η∠. ἀφῃρήσθω οὖν ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ Η∠ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗ∠. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΑΗΘ μείζων· ἐκτὸς γάρ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων. ὥστε καὶ ἡ Γ∠ μείζων τῆς ΑΒ φανήσεται. Ad prop. XLIII.