ΒΙΒΛΙΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟΝ., Chapter 15

Κύκλου δοθέντος ἐν σφαίρᾳ ἐλάσσονος τοῦ μεγίστου, καὶ σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὅ ἐστι μεταξὺ αὐτοῦ τε καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, γράψαι διὰ τοῦ σημείου μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος κύκλου. Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ ἐλάσσων τοῦ μεγίστου ὁ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὅ ἐστι μεταξὺ αὐτοῦ τε τοῦ ΑΒ, καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, ἔστω τὸ Γ· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Γ σημείου γράψαι μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ ΑΒ κύκλου. Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Δ σημεῖον· καὶ πόλῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΕΖΗ, καὶ διὰ τῶν Δ, Γ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΓΘ, καὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἴση περιφέρεια ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ· καὶ πόλῳ μὲν τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΒΘ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΒΗ· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΒΗ κύκλος, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐφάψεται τοῦ ΑΒ· δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΕΒΗ, ΑΒ a μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴ ΔΒΓΘ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Β, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ. Καὶ διὰ τοῦ Δ σημείου καὶ ἑκατέρου τῶν Ε, Η σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΜΕΚ, ΔΝΗΛ, καὶ τῇ ΓΘ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἑκατέρα τῶν ΕΚ, ΗΛ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΕΒΗ, ΖΕΓΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΔΒΓΘ, δίχα ἄρα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΕΒ περιφέρεια τῇ ΒΗ περιφερείᾳ. Καὶ ἐπεὶ αἱ ΔΕ, ΔΓ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, ἐκ γὰρ τοῦ πόλου εἰσὶ τοῦ ΖΕΗ κύκλου, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ΔΜ, ΔΒ, ΔΝ ἴσαι ἀλλήλαις, ἀλλὰ καὶ αἱ ΕΚ, ΓΘ, ΗΛ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὅλαι ἄρα αἱ ΜΚ, ΒΘ, ΝΛ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί b. Καί ἐστιν ἡ ΒΘ ἴση τῇ, ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ αἱ ΜΚ, ΝΛ ἄρα ἴσαι εἰσὶ τῇ, ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΒΓΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΕΓΗ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΔΒΓΘ ἄρα ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ κύκλον. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΔΝΗΛ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ, καὶ ἔτι ὁ ΔΜΕΚ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΝ, ΛΓ, ΘΕ. Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΖΕΓΗ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ τῶν Γ, Η σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφίσταται τὰ ΓΘ, ΗΛ καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΓΘ, ΗΛ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, καί ἑστιν ἴση ἡ ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ ΛΓ. Τετραγώνου δὲ ἡ ΘΕ, καὶ ἡ ΛΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΝ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΛ τῇ ΛΝ. Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΓΝΞ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΝΞ, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΓΝΞ, ΑΒ a μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΔΝΗΛ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Ν, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων ὁ ΓΝΞ ἄρα τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφάψεται. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ πόλῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου. Ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΓΚ, ΘΗ, ἔσονται ἴσαι ἀλλήλαις· καί ἐστιν ἡ ΘΗ τετραγώνου πλευρὰ, ἐκ γὰρ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τοῦ ΕΒΗ, καὶ ἡ ΚΓ ἄρα τετραγώνου ἔσται πλευρά· ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΜ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΚΜ. Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου, καὶ ἔσται ὡς ὁ ΓΜΟ, καὶ ἐφάψεται τοῦ ΑΒ κύκλου· καὶ γίνεται διχῶς τὸ πρόβλημα. Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Γ b, ὅ ἐστι μεταξὺ τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΓΝΞ, καὶ ὁ ΓΜΟ. [Ὁμοίως γὰρ ἐροῦμεν· ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΕΖΗΓ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ Ε, Γ σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται τὰ ΕΚ, ΓΘ καὶ τὰ τούτοις συνεχῇ, καί ἐστιν ἴση ἡ ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΚ εὐθεῖα τῇ ΘΗ εὐθείᾳ. Τετραγώνου δὲ ἡ ΘΗ, ἐκ πόλου γὰρ τοῦ ΕΒΗ κύκλου· τετραγώνου ἄρα καὶ ἡ ΓΚ, ἔτι δὲ καὶ ἡ ΚΜ τετραγώνου. Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Γ, Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ· καὶ φανερὸν, ὅτι ἐφάψεται τοῦ ΑΒ κύκλου. Εἰ δέ τις λέγοι, τὴν ἀπολαμβανομένην ἴσην τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, εἶναι τὴν ΒΓ, δείξομεν οὕτως. Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΔΗ, ὧν ἡ ΔΒ ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΔΜ, ΔΝ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΝΗ, ΕΜ. Τετραγώνου δὲ ἡ ΒΓ, τετραγώνου ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΝΗ, ΕΜ. Ἐπεὶ οὖν τετραγώνου ἐστὶν ἡ ΗΝ καὶ ἡ ΗΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΗ τῇ ΓΗ· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΓΗ, γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ τοῦ Ν σημείου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ, κύκλος γραφόμενος ἥξει διὰ τοῦ Μ σημείου. Καὶ ἔσται διχῶς τὸ πρόβλημα a].