ΒΙΒΛΙΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟΝ., Chapter 16

Οἱ ὁμοίας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι παραλλήλων τινῶν κύκλων περιφερείας ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων, ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφ άπτονται. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΗΓ, ΒΖΘΔ παραλλήλων τινῶν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ ΕΖΗΘ ὁμοίας ἀφαιρείσθωσαν περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν, τοῦτ’ ἔστι, τὴν ΑΒ τῇ ΕΖ ὁμοίαν· λέγω, ὅτι οἱ ΑΗΓ, ΒΖΘΔ κύκλοι ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων, ἢ τοῦ αὐτοῦ ἐφάπτονται τῶν παραλλήλων. Ἤτοι γὰρ ὁ ΑΗΓ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων, ἤ οὔ. Ἔστω πρότερον διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων· λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΒΘΔ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων, τοῦτ’ ἔστι, ὅτι τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ. Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ Λ σημεῖον πόλος τῶν παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν Λ, Ζ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΜ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΜ περιφέρεια τῇ ΕΖ. Ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ Λ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο, πλὴν τὸ Κ σημεῖον· τὸ Κ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων. Οἱ ἄρα ΑΗΓ, ΒΘΔ κύκλοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων. Ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ ἔστω ὁ ΑΗΓ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων. Ἤτοι δὴ ἐφάψεται τοῦ ΕΖΘ κύκλου, ἢ λοξὸς ἔσται πρὸς αὐτόν. Ἐφαπτέσθω πρότερον κατὰ τὸ Ε, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς· λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΒ ἐφάψεται. Εἰ γὰρ δυνατὸν, μὴ ἐφαπτέσθω, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Ζ σηποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΖΓ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΕΑ ἡμικυκλίῳ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ b ΑΒ ἐστιν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ὁ ΒΖ κύκλος τοῦ ΕΖΘ κύκλου οὐκ ἐφάψεται, ἐφάψεται ἄρα. Τρίτη καταγραφή (ϲ). Ἀλλὰ δὴ ὁ ΑΗΓ λοξὸς ἔστω τοὺς παραλλήλους, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφὴς · ἐφάψεται ἄρα δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τοῖς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΒΖΘΔ λοξός ἐστι πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ τοῦ αὐτοῦ ἐφάψεται. Εἰ γὰρ δυνατὸν, ὁ μὲν ΑΕΗΓ κύκλος ἐφαπτέσθω ἑνὸς τῶν παραλλήλων τοῦ ΜΞ κατά τὸ Λ σημεῖον, ὁ δὲ ΒΖΘΔ μὴ ἐφαπτέσθω· καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου, ὄντος μεταξὺ τοῦ τε ΛΜ κύκλου καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, μέγιστος κύκλος γεγράφθω, ἐφαπτόμενος τοῦ ΛΜ κατὰ το Μ σημεῖον ὁ ΝΖΜ, ἀσύμπτωτον ποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΛΑ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΜΝ d ἡμικυκλίῳ. Ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΝ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ· ἀλλ’ ἡ ΕΖ περιφέρεια τῇ ΑΒ ἐστὶν ὁμοία, [καὶ ἡ ΑΒΝ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία e], καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἡ ΝΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὔκ ἄρα ὁ ΔΘΒ κύκλος οὐκ ἐφάψεται τοῦ ΛΜ κύκλου, ἐφάψεται ἄρα. Οἱ ΑΕΗΓ, ΒΖΘΔ ἄρα κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτονται.