ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 18

Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι. Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, δεῖ δὲ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι. Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΔΕΖ, ἴσην ἔχον τὴν ΔΕ τῇ ΑΒ, τὴν δὲ ΕΖ τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΖΔ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Ε σημείου τῇ ΕΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ· ἤχθω δὲ καὶ διάμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἡ ΑΘ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΘ. Ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΓΘ. Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ ὀυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστί γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν· ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΘΓ ἴση ἐστὶν, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΔΗΖ a, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΓ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΗΖ ἴση ἐστίν. Ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΘ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΗ ἴση· δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΘΓ, ΔΗΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΘ, ΓΘΑ ταῖς δυσὶ γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΔΖΗ, ΖΗΔ ἴσας ἔχοντα, ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει, ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἡ ΑΘ ἄρα τῇ ΔΗ ἴση ἐστί. Καί ἐστιν ἡ ΑΘ διάμετρος τοῦ κύκλου· ἡ ΔΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ.