ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 19

Τῆς δοθείσης σφαίρας τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι. Νενοήσθω γὰρ ἡ σφαῖρα, ἧς δεῖ τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι· καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τοῦ ΒΓΔ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι. Ἐκ τριῶν οὖν εὐθειῶν, αἵ εἰσι δύο μὲν ταῖς ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΒΓΔ ἴσαι, μία δὲ τῇ διαμέτρῳ, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΕΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΖΕ, ΕΗ ἑκατέρᾳ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ Α, τὴν δὲ ΖΗ τῇ διαμέτρῳ· καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ζ, Η ταῖς ΖΕ, ΕΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ αἱ ΖΘ, ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας. Νενοήσθω γὰρ ἡ διάμετρος· τῆς σφαίρας ἡ ΑΚ, καὶ διὰ τῆς ΑΚ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον· ποιείτω τὸν ΑΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΑΒ, ΒΔ, ΔΚ. Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ a ταῖς ΕΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, βάσις δὲ ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστὶ, γωνία ἄρα ἡ b ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ ἴση ἐστίν. Ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΚΔ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΖΗ τῇ ὑπὸ ΕΘΗ ἴση, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου δέδεικται· ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΗ Θ ἴση· δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΚΔ, ΕΘΗ, τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΔΚ, ΔΚΑ ταῖς δυσὶ γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΕΗΘ, ΗΘΕ ἴσας ἔχοντα, ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, τὴν ΑΔ τῇ ΕΗ· καὶ· τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΕΘ. Καί ἐστιν ἡ ΑΚ διάμετρος τῆς σφαίρας· ἡ ΕΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.