ΒΙΒΛΙΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟΝ., Chapter 19

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ, χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων. Τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων, ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου· τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάττονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου. Τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν b. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ παραλλήλους τοὺς ΑΔ, ΕΖ, ΒΓ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΕΖ· λέγω, ὅτι εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ, χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖ· τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων, ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου, τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάσσονα· τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Ε, Η μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΕΘ· ὁ ΗΕΘ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Z σημείου, κατὰ διάμετρον γὰρ τὸ Ε τῷ Ζ, διὰ τὸ μέγιστον εἶναι ἑκάτερον τῶν ΕΖ, ΑΒΓΔ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΝΖΚ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΒΓ κύκλος ἕως τῶν Θ, Κ σημείων. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΘΕΜΗΝΖΚ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΜΝΔ, ΕΖ, ΘΒΓΚ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΜΝ, ΕΖ, ΘΒΓΚ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΜΝ ἡμικύκλιόν ἐστι, τὸ ΑΜΝΔ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ Η πόλου μείζονά ἐστιν ἡμικυκλίων. Πάλιν ἐπεὶ τὸ ΘΒΓΚ ἡμικύκλιόν ἐστι, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου, καὶ ὄντα ἐν τῷ αὐτῷ ἡμισφαιρίῳ, ἐλάττονά ἐστιν ἡμικυκλίων. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλος· λέγω, ὅτι τῶν ΑΔ, ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια τῇ ΕΒ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ· [ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΓ a] συναμφότεραι ἄρα αἱ ΑΕ, ΔΖ συναμφοτέραις ταῖς ΕΒ, ΖΓ ἴσαι εἰσίν· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΑΔΖ ὅλη τῇ ΕΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῇ τῇ ΒΓ ἴση ἐστὶ, διὰ τὸ ἡμικυκλίου εἶναι ἑκατέραν τῶν ΕΑΔΖ, ΕΒΓΖ, μέγιστοι γάρ εἰσιν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖ b. Καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου αἱ ΑΔ, ΒΓ περιφέρειαι, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· καί ἐστιν ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἡ ὑπὸ τὴν ΑΔ περιφέρειαν ὑποτείνουσα, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἡ ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα· ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι, τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι, τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ἡ μὲν ἄρα τοῦ ΑΔ κύκλου μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ τοῦ ΑΔ κύκλου ἐλάσσων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου ἐλάσσονι περιφερείᾳ. Καί ἐστι τὸ μὲν ΑΔ μεῖζον ἡμικυκλίου, τὸ δὲ ΒΓ ἐλάττον· τῶν ἄρα ΑΔ, ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.