ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 21

Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν. Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν. Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπειλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΔΑ, ΑΕ, ἡ δὲ λοιπὴ ΔΕ δίχα τεμνέσθω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· ὁ δὴ ΑΒΓ κύκλος ἤτοι μέγιστός ἐστιν, ἢ οὔ. Ἔστω πρότερον μὴ μέγιστος, καὶ διὰ δύο δοθέντων σημείων τῶν Ζ, Α, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΑΘ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ ἴση, ὅλη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔΖ ὅλῃ τῇ ΑΕΖ ἴσην· ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τέμνει. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνει, πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων· ὁ ΖΘΑ ἄρα τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθάς τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει. Τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλος μέγιστος ἔστω. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔΖ περιφέρεια τῇ ΑΕΖ περιφερείᾳ. Τετμήσθω δὴ ἡ ΑΓΖ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΓ, ΓΖ περιφερειῶν τεταρτημόριά ἐστιν· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΖ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου, ἐπείπερ τὸ Α τῷ Ζ κατὰ διάμετρόν ἐστιν. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς. ὁ a ΖΑΘ, ὁ ἄρα ΖΑΘ κύκλος μέγιστός ἐστιν, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ ἐστι, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ τὸ Γ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΖΑΘ κύκλου, ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος τὸν ΖΑΘ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΘ διὰ πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΑΘ κύκλον, καὶ ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΖΑΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων· ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει. Τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.