ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ., Chapter 20

Διὰ δύο δοθέντων σημείων, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστον κύκλον γράψαι. Ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας· δεῖ δὴ διὰ τῶν Α, Β σημείων μέγιστον κύκλον γράψαι. Εἰ μὲν τὰ Α, Β κατὰ διάμετρόν ἐστι τῆς σφαίρας, φανερὸν, ὅτι μέγιστοι κύκλοι ἄπειροι διὰ τῶν Α, Β σημείων γραφήσονται. Μὴ ἔστω δὴ τὰ Α, Β σημεῖα κατὰ τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας. Καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον γραφομένου, κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΔΕ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Πάλιν πόλῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΕΗ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΕΗ κύκλος, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ γραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον. Καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημεῖου ἐπὶ τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΕΒ. Ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΑ, ΕΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἴση ἄρα ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν. Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΒ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α, διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΑ τῇ ΕΒ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΒΘ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΑΘ κύκλος, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Διὰ δύο ἄρα δοθέντων σημείων τῶν Α, Β, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΒΘ.