Paragraph 26

προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν, ἢ μονάδι ἢ δυάδι ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς ὁ κδʹ, ἔστι γὰρ ἑξάκις δʹ, καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκων. καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμή- κης, καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης· οὐ μὴν ἀνάπαλιν· ὁ γὰρ μείζονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης· ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὁ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ὁ ϛʹ· ἔστι γὰρ δὶς γʹ ϛʹ. ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν 〈ἔχων〉, ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι· ὡς ὁ ιβ΄· ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δʹ καὶ δὶς ϛʹ, ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δʹ εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ΄ προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν· ὡς ὁ μʹ· καὶ γὰρ τετράκις ιʹ καὶ πεντάκις η΄ καὶ δὶς κʹ· ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προ- μήκης. ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ὁ ἐκ τῶν ἴσων ἀριθμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα· ἡ δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρᾳ ἀριθμῷ προσθήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα· διὸ οἱ ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν ἑτερότητος ἑτερομήκεις. οἱ δὲ πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν πλευρὰν μείζονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προ- βιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται.