Ancient Greek
Paragraph 33
Theon Smyrnaeus, De utilitate mathematicae 33
Not analysed yet
οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- θεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παῤ ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται· ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈οἱ〉 περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.