Ancient Greek
Paragraph 45
Theon Smyrnaeus, De utilitate mathematicae 45
Not analysed yet
ὥσπερ δὲ τριγωνικοὺς καὶ τετραγωνικοὺς καὶ πεν- ταγωνικοὺς καὶ κατὰ τὰ λοιπὰ σχήματα λόγους ἔχουσι δυνάμει οἱ ἀριθμοί, οὕτως καὶ πλευρικοὺς καὶ διαμε- τρικοὺς λόγους εὕροιμεν ἂν κατὰ τοὺς σπερματικοὺς λόγους ἐμφανιζομένους τοῖς ἀριθμοῖς. ἐκ γὰρ τούτων ῥυθμίζεται τὰ σχήματα. ὥσπερ οὖν πάντων τῶν σχημά- των κατὰ τὸν ἀνωτάτω καὶ σπερματικὸν λόγον ἡ μονὰς ἄρχει, οὕτως καὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς λόγος ἐν τῇ μονάδι εὑρίσκεται. οἷον ἐκτίθενται δύο μονάδες, ὧν τὴν μὲν θῶμεν εἶναι διάμετρον, τὴν δὲ πλευράν, ἐπειδὴ τὴν μονάδα, πάντων οὖσαν ἀρχήν, δεῖ δυνάμει καὶ πλευρὰν εἶναι καὶ διάμετρον. καὶ προστίθεται τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρος, τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευραί, ἐπειδὴ ὅσον ἡ πλευρὰ δὶς δύναται, ἡ διάμετρος ἅπαξ. ἐγένετο οὖν μείζων μὲν ἡ διάμετρος, ἐλάττων δὲ ἡ πλευρά. καὶ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πλευρᾶς τε καὶ δια- μέτρου εἴη ἂν τὸ ἀπὸ τῆς μονάδος διαμέτρου τετράγω- νον μονάδι μιᾷ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς μονά- δος πλευρὰς τετραγώνου· ἐν ἰσότητι γὰρ αἱ μονάδες· τὸ δʼ ἓν τοῦ ἑνὸς μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον. προσ- θῶμεν δὴ τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον, τουτέστι τῇ μονάδι μονάδα· ἔσται ἡ πλευρὰ ἄρα δύο μονάδων· τῇ δὲ δια- μέτρῳ προσθῶμεν δύο πλευράς, τουτέστι τῇ μονάδι δύο μονάδας· ἔσται ἡ διάμετρος μονάδων τριῶν· καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς δυάδος πλευρᾶς τετράγωνον δ΄, τὸ δʼ ἀπο τῆς τρίαδος διαμέτρου τετράγωνον θ΄· τὸ θ΄ ἄρα μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς β΄ πλευρᾶς. πάλιν προσθῶμεν τῇ μὲν β΄ πλευρᾷ διάμετρον τὴν τρίαδα· ἔσται ἡ πλευρὰ ε΄· τῇ δὲ τρίαδι διαμέτρῳ β΄ πλευράς, τουτέστι δὶς τὰ β΄· ἔσται ζ΄· ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς 〈ε΄〉 πλευρᾶς τετράγωνον κε΄, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ζ΄ 〈διαμέτρου〉 μθ΄· μονάδι ἔλασσον ἢ διπλάσιον τοῦ κε΄ ἄρα τὸ μθ΄. πάλιν ἂν τῇ 〈ε΄〉 πλευρᾷ προσθῇς τὴν ζ΄ διάμετρον, ἔσται ιβ΄· κἂν τῇ ζ΄ διαμέτρῳ προσθῇς δὶς τὴν ε΄ πλευ- ράν, ἔσται ιζ΄· καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ιβ΄ τετραγώνου τὸ ἀπὸ τῆς ιζ΄ μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον. καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς τῆς προσθήκης ὁμοίως γιγνομένης, ἔσται τὸ ἀνάλογον ἐναλλάξ· ποτὲ μὲν μονάδι ἔλαττον, ποτὲ δὲ μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς· καὶ ῥηταὶ αἱ τοιαῦται καὶ πλευραὶ καὶ τδιάμεροι.