Latin
Lines 1.25-1.28
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.25-28
Not analysed yet
Ceterum mihi videtur, ill. d'A. hic non recte ad series infinitas confugisse, hasque ad stabiliendum theorema hoc fundamentale doctrinae aequationum haud idoneas esse.
4. Ex suppositione, X obtinere posse valorem S neque vero valorem U ,nondum sequitur, inter S et U necessario valorem T iacere, quem X attingere sed non superare possit. Superest adhuc alius casus: scilicet fieri posset, vt inter S et U limes situs sit, ad quem accedere quidem quam prope velis possit X ,ipsum vero nihilominus numquam attingere. Ex argumentis ab ill. d'A. allatis tantummodo sequitur, X omnem valorem, quem attigerit, adhuc quantitate finita superare posse, puta quando enaserit =S ,adhuc quantitate aliqua finita Ω augeri posse; quo facto, nouum incrementum Ω ′ accedere, tunc iterum augmentum Ω ′ ′ etc. ,ita vt quotcunque incrementa iam adiecta sint, nullum pro vltimo haberi debeat, sed semper aliquod nouum accedere possit. At quamuis multitudo incrementorum possibilium nullis limitibus sit circumscripta: tamen vtique fieri posset, vt si incrementa Ω ,Ω ′ ,Ω ′ ′ etc. continuo decrescerent, nihilominus summa S+Ω +Ω ′ +Ω ′ ′ etc. limitem aliquem numquam attingeret, quotcunque termini considerentur.
Quamquam hic casus occurrere non potest, quando X designat functionem algebraicam integram ipsius x :tamen sine demonstratione, hoc fieri non posse, methodus necessario pro incompleta habenda est. Quando vero X est functio transscendens, siue etiam algebraica fracta, casus ille vtique locum habere potest, e. g. semper quando valori cuidam ipsius X valor infinite magnus ipsius x respondet. Tum methodus d'Alembertiana non sine multis ambagibus, et in quibusdam casibus nullo forsan modo, ad principia indubitata reduci posse videtur.
Propter has rationes demonstrationem d'Alembertianam pro satisfaciente habere nequeo. Attamen hoc non obstante verus demonstrationis neruus probandi per omnes obiectiones neutiquam infringi mihi videtur, credoque eidem fundamento (quamuis longe diuersa ratione, et saltem maiori circumspicienta) non solum demonstrationem rigorosam theorematis nostri superstrui, sed ibinde omnia peti posse, quae circa aequationum transscendentium theoriam desiderari queant. De qua re grauissima alia occasione fusius agam; conf. interim infra art. 23.