Latin
Lines 1.29-1.31
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.29-31
Not analysed yet
7.
Post d'Alembertum ill. Euler disquisitiones suas de eodem argumento promulgauit, Recherches sur les racines imaginaires des équations, Hist. de l'Acad. de Berlin A. 1749. p. 223 sqq. Methodum duplicem hic tradidit: prioris summa continetur in sequentibus.
Primo ill. E. suscipit demonstrare, si m denotet quamcunque dignitatem numeri 2, functionem x 2m +Bx 2x-2 +Cx 2m-3 +etc. +M=X (in qua coëfficiens termini secundi est =0 )semper in duos factores reales resolui posse, in quibus x vsque ad m dimensiones ascendat. Ad hunc finem duos factores assumit, x m -ux m-1 +α x m-2 +β x m-3 +etc. ,et x m +ux m-1 +λ x m-2 +μ x m-3 etc. vbi coëfficientes u, α, β etc. λ ,μ etc. adhuc incogniti sunt, horumque productum aequale ponit functioni X . Tum coëfficientium comparatio suppeditat 2m-1 aequationes, manifestoque demonstrari tantummodo debet, incognitis u,α,β etc. λ ,μ etc. (quarum multitudo etiam est 2-1 )tales valores reales tribui posse, qui aequationibus illis satisfaciant. Iam E. affirmat, si primo u tamquam cognita consideretur, ita vt multitudo incognitarum vnitate minor sit quam multitudo aequationum, his secundum methodos algebraicas notas rite combinatis omnes α, β etc. λ ,μ etc. rationaliter et sine vlla radicum extractione per u et coëfficientes B, C etc. determinari posse, adeoque valores reales nancisci, simulac u realis fiat. Praeterea vero omnes α, β etc. λ ,μ etc. eliminari poterunt, ita vt prodeat aequatio U=0 ,vbi U erit functio integra solius u et coëfficientium cognitorum. Hanc aequationem ipsam per methodum eliminationis vulgarem euoluere, opus immensum fore, quando aequatio proposita X=0 est gradus aliquantum alti; et pro gradu indeterminato, plane impossibile (iudice ipso E. p. 239.) . Attamen sufficit, vnam illius aequationis proprietatem nouisse, scilicet quod terminus vltimus in U (qui incognitam u non implicat) necessario est negatiuus, vnde sequi constat, aequationem ad minimum vnum radicem realem habere, siue u et proin etiam α, β etc. λ ,μ etc. ad minimum vno modo realiter determinari posse: illam vero proprietatem per sequentes reflexiones confirmare licet. Quum x m -ux m-1 +α x m-2 +etc. supponatur esse factor functionis X :necessario u erit summa m radicum aequationis X=0 ,adeoque totidem valores habere debebit, quot modis diuersis ex 2m radicibus m excerpi possunt, siue per principia calculi combinationum (2m . 2m-1 . . . . . m+1) /(1 . 2 . 3 . . . m) valores. Hic numerus semper erit impariter par (demonstrationem haud difficilem supprimo): si itaque ponitur =2k ,ipsius semissis k impar erit; aequatio U=0 vero erit gradus 2k ti . Iam quoniam in aequatione X=0 terminus secundus deest: summa omnium 2m radicum erit 0 ; vnde patet, si summa quarumcunque m radicum fuerit +p ,reliquarum summam fore -p ,i. e. si +p est inter valores ipsius u ,etiam -p inter eosdem erit. Hinc E. concludit, U esse productum ex k factoribus duplicibus talibus uu-pp ,uu-qq ,vu-rr etc. ,denotantibus +p, -p, +q, -q etc. omnes 2k radices aequationis U=0 ,vnde, propter multitudinem imparem horum factorum, terminus vltimus in U erit quadratum producti pqr etc. signo negatiuo affectum. Productum autem pqr etc. semper ex coëfficientibus B, C etc. rationaliter determinari potest, adeoque necessario erit quantitas realis. Huius itaque quadratum signo negatiuo affectum certo erit quantitas negatiua. Q. E. D.