Latin
Lines 1.43-1.49
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.43-49
Not analysed yet
1/2 (a+b-c-d) x 1/2 (a+c-b-d) x 1/2 (a+d-b-c) ,
quod productum euolutum omnes a, b, c, d eodem modo implicaturum esse facile praeuideri potest. Simul periti facile hinc colligent, quomodo hoc ad altiores aequationes applicare debeat. Completam demonstrationis expositionem, quam hic apponere breuitas non permittit, vna cum vberiori disquisitione de functionibus plures variabiles eodem modo inuoluentibus ad aliam occasionem mihi reseruo.
Ceterum obseruo, praeter has quatuor obiectiones, adhuc quaedam alia in demonstratione E. reprehendi posse, quae tamen silentio praetereo, ne forte censor nimis seuerus esse videar, praesertim quum praecedentia satis ostendere videatur, demonstrationem in ea quidem forma, in qua ab E. proposita est, pro completa neutiquam haberi posse.
Post hanc demonstrationem, E. adhuc aliam viam theorema pro aequationibus, quarum gradus non est potestas binaria, ad talium aequationum resolutionem reducendi ostendit: attamen quum methodus haec pro aequationibus quarum gradus est potestas binaria, nihil doceat, insuperque omnibus obiectionibus praecc. (praeter quartam) aeque obnoxia sit vt demonstratio prima generalis: haud necesse est illam hic fusius explicare.
9.
In eadem commentatione ill. E. theorema nostrum adhuc alia via confirmare annixus est p. 263, cuius summa continetur in his: Proposita aequatione x n +Ax n-1 +Bx n-2 etc. =0 ,hucusque quidem expressio analytica, quae ipsius radices exprimat, inueniri non potuit, si exponens n>4 ; attamen certum esse videtur (vti asserit E.) ,illam nihil aliud continere posse, quam operationes arithmeticas et extractiones radicum eo magis complicatas, quo maior sit n . Si hoc conceditur, E. optime ostendit, quantumuis inter se complicata sint signa radicalia, tamen formulae valorem semper per formam M+N√ -1 repraesentabilem fore, ita vt M, N sint quantitates reales.
Contra hoc ratiocinium obiici potest, post tot tantorum geometrarum labores perexiguam spem superesse, ad resolutionem generalem aequationum algebraicarum vmquam perueniendi, ita vt magis magisque verisimile fiat, talem resolutionem omnino esse impossibilem et contradictoriam. Hoc eo minus paradoxum videri debet, quum id quod vulgo resolutio aequationis dicitur proprie nihil aliud sit quam ipsius reductio ad aequationes puras. Nam aequationum purarum solutio hinc non docetur sed supponitur, et si radicem aequationis x m =H per m √ H exprimis illam neutiquam soluisti, neque plus fecisti, quam si ad denotandam radicem aequationis x n +Ax n-1 +etc. =0 signum aliquod excogitares, radicemque huic aequalem poneres. Verum est, aequationes puras propter facilitatem ipsarum radices per approximationem inueniendi, et propter nexum elegantem, quem omnes radices inter se habent, prae omnibus reliquis multum praestare, adeoque neutiquam vituperandum esse, quod analystae harum radices per signum peculiare denotauerunt: attamen ex eo, quod hoc signum perinde vt signa arithmetica additionis, subtractionis, multiplicationis, diuisionis et euectionis ad dignitatem sub nomine expressionum analyticarum complexi sunt, minime sequitur cuiusuis aequationis radicem per illas exhibere posse. Seu, missis verbis, sine ratione sufficienti supponitur, cuiusuis aequationis solutionem ad solutionem aequationum purarum reduci posse. Forsan non ita difficile foret, impossibilitatem iam pro quinto gradu omni rigore demonstrare, de qua re alio loco disquisitiones meas fusius proponam. Hic sufficit, resolubilitatem generalem aequationum in illo sensu acceptam, adhuc valde dubiam esse, adeoque demonstrationem, cuius tota vis ab illa suppositione pendet, in praesenti rei statu nihil ponderis habere.