Latin
Lines 1.50-1.52
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.50-52
Not analysed yet
10.
Postea etiam clar. de Foncenex, quum in demonstratione prima Euleri defectum animaduertisset (supra art. 8. obiect. 4.) ,quem tollere non poterat, adhuc aliam viam tentauit et in comment. laudata p. 120. in medium protulit *7) . Quae consistit in sequentibus.
Proposita sit aequatio Z=0 ,designante Z functionem m ti gradus incognitae z . Si m est numerus impar, iam constat, aequationem hanc habere radicem realem; si vero m est par, clar. F. sequenti modo probare conatur, aequationem ad minimum vnam radicem formae p+q√ -1 habere. Sit m=2 n i ,designante i numerum imparem, supponaturque zz+uz+M esse diuisor functionis Z . Tunc singuli valores ipsius u erunt summae binarum radicum aequationis Z=0 (mutato signo), quamobrem u habebit (m . m-t) /(1 . 2)=m′ valores, et si u per aequationem U=0 determinari supponitur (designante U functionem integram ipsius u et coëfficientium cognitorum in Z ),haec erit gradus m′ ti . Facile vero perspicitur m′ fore numerum formae 2 n-1 i′ ,designante i′ numerum imparem. Iam nisi m′ est impar, supponatur iterum, uu+uu′ +M′ esse diuisorem ipsius U ,patetque per similia ratiocinia u′ determinari per aequationem U′ =0 ,vbi U′ sit functio (m′ . m′ -1) /(1 . 2) ti gradus ipsius u′ . Posito vero (m′ . m′ -1) /(1 . 2)=m′ ′ ,erit m′ ′ numerus formae 2 n-2 i′ ′ ,designante i′ ′ numerum imparem. Iam nisi m′ ′ est impar, statuatur u′ u′ +u′ ′ u′ +M′ ′ esse diuisorem functionis U′ ,determinabiturque u′ ′ per aequationem U′ ′ =0 ,quae si supponitur esse gradus m′ ′ ′ ti ,m′ ′ ′ erit numerus formae s n-3 i′ ′ ′ . Manifestum est, in serie aequationum U=0 ,U′ =0 ,U′ ′ =0 etc. n tam fore gradus imparis adeoque radicem realem habere. Statuemus breuitatis gratia n=3 ,ita vt aequatio U′ ′ =0 radicem realem u′ ′ habeat, nullo enim negotio perspicitur pro quouis alio valore ipsius n idem ratiocinium valere. Tunc coëfficientem M′ ′ per u′ ′ et coëfficientes in U′ (quos fore functiones integras coëfficientium in Z facile intelligitur), siue per u′ ′ et coëfficientes in Z rationaliter determinabilem fore asserit clar. de F. ,et proin realem. Hinc sequitur, radices aequationis u′ u′ +u′ ′ u′ +M′ ′ =0 sub forma p+q√ -1 contentas fore; eadem vero manifesto aequationi U′ =0 satisfacient: quare dabitur valor aliquis ipsius u′ sub forma p+q√ -1 contentus. Iam coëfficiens M′ (eodem modo vt ante) rationaliter per u′ et coëfficientes in Z determinari potest, adeoque etiam sub forma p+q√ -1 contentus erit; quare aequationis uu+u′ u+M′ radices sub eadem forma contentae erunt, simul vero aequationi U=0 satisfacient, i. e. aequatio haec habebit radicem sub forma p+q√ -1 contentam. Denique hinc simili ratione sequitur, etiam M sub eadem forma contineri, nec non radicem aequationis zz+uz+M=0 ,quae manifesto etiam aequationi propositae Z=0 satisfaciet. Quamobrem quaeuis aequatio ad minimum vnam radicem formae p+q√ -1 habebit.