Latin
Lines 1.79-1.82
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.79-82
Not analysed yet
19.
THEOREMA. Manentibus cunctis vt supra, ex centro C describi poterit circulos, in cuius peripheria sint 2m puncta, in quibus T=0 ,totidemque, in quibus U=0 ,et quidem ita, vt singula posteriora inter bina priorum iaceant.
Sit summa omnium coëfficientium A,B etc. K,L,M ,positiue acceptorum =S ,accipiaturque R simul >S√ 2 et >1 *9) :tum dico in circulo radio R descripto ea, quae in theoremate enunciata sunt, necessario locum habere. Scilicet designato breuitatis gratia eo puncto huius circumferentiae, quod 1/m 45 gradibus ab ipsius concursu cum laeua parte axis distat, siue pro quo φ =1/m 45° ,per (1); similiter eo puncto, quod φ =3/m 45° ,ab hoc concursu distat, siue pro quo φ =3/m 45° ,per (3); porro eo, vbi φ =5/m 45° ,per (5) etc. vsque ad (8m-1) ,quod (8m-1)/m 45 gradibus ab illo concursu distat, si semper versus eandem partem progrederis, (aut 1/m 45° a parte opposita), ita vt omnino 4m puncta in peripheria habeantur, aequalibus interuallis dissita: iacebit inter (8m-1) et (1) vnum punctum, pro quo T=0 ; nec non sita erunt similia puncta singula inter (3) et (5); inter (7) et (9); inter (11) et (13) etc. quorum itaque multitudo 2m ; eodemque modo singula puncta, pro quibus U=0 ,iacebunt inter (1) et (3); inter (5) et (7); inter (9) et (11), quorum multitudo igitur etiam =2m ; denique praeter haec 4m puncta alia, in tota peripheria non dabuntur, pro quibus vel T vel U sit =0 .
Demonstr. I. In puncto (1) erit mφ =45° adeoque T= R m-1 (R√ 1/2 +Asin(m-1)φ +B/R sin(m-2)φ +etc. +L/(R m-2 )sinφ) ; summa vero Asin(m-1)φ +B/R sin(m-2)φ etc. certo non poterit esse maior quam S ,adeoque necessario erit minor quam R√ 1/2 :vnde sequitur in hoc puncto valorem ipsius T certo esse positiuum. A potiori itaque T valorem positiuum habebit, quando mφ inter 45° et 135° iacet, i. e. a puncto (1) vsque ad (3) valor ipsius T semper positiuus erit. Ex eadem ratione T a puncto (9) vsque ad (11) positiuum valorem vbique habebit, et generaliter a quouis puncto (8k+1) vsque ad (8k+3) ,denotante k integrum quemcunque. Simili modo T vbique inter (5) et (7), inter (13) et (15) etc. et generaliter inter (8k+5) et (8k+7a) valorem negatiuum habebit, adeoque in omnibus his interuallis nullibi poterit esse =0 . Sed quoniam in (3) hic valor est positiuus, in (5) negatiuus: necessario alicubi inter (3) et (5) erit =0 ; nec non alicubi inter (7) et (9); inter (11) et (13) etc. vsque ad interuallum inter (8m-1) et (1) incl. ,ita vt omnino in 2m punctis habeatur T=0 . Q. E. P.