Latin
Lines 1.76-1.78
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.76-78
Not analysed yet
18.
Ante omnia obseruo, vtramque curuam esse algebraicam, et quidem, si ad coordinates orthogonales reuocetur, ordinis m ti . Sumto enim initio abscissarum in C ,abscissisque x versus G ,applicatis y versus P ,erit x=rcosφ ,y=rsinφ ,adeoque generaliter, quidquid sit n ,r n sin nφ =nx n-1 y-(n. n-1. n-2) /(1. 2. 3) x n-3 y 3 +(n. . . n-4) /(1. . . . 5) x n-5 y 5 -etc. ,r n cos nφ =x n -(n. n-1) /(1. 2) x n-2 yy +(n. n-1. n-2. n-3) /(1. 2. 3. 4) x n-4 y 4 -etc. Quamobrem tum T tum U constabunt ex pluribus huiusmodi terminis ax α y β ,denotantibus α ,β numeros integros positiuos, quorum summa, vbi maxima est, sit =m . Ceterum facile praeuideri potest, cunctos terminos ipsius T factorem y inuoluere, adeoque lineam primam proprie ex recta (cuius aequatio y=0 )et curua ordinis m-1 ti compositam esse; sed necesse non est ad hanc distinctionem hic respicere.
Maioris momenti erit inuestigatio, an linea prima et secunda crura infinita habeant, et quot qualiaque. In distantia infinita a puncto C linea prima, cuius aequatio sin mφ +1/r sin(m-1)φ +B/rr sin(m-2)φ etc. =0 ,confundetur cum linea, cuius aequatio sin mφ =0 . Haec vero exhibet m lineas rectas in puncto A se secantes, quarum prima est axis GCG′ ,reliquae contra hanc sub angulis 1/m 180 ,2/m 180 ,3/m 180 etc. graduum inclinatae. Quare linea prima 2m ramos infinitos habet, qui peripheram circuli radio infinito descripti in 2m partes aequales dispertiuntur, ita vt peripheria a ramo primo secetur in concursu circuli et axis, a secundo in distantia 1/m 180° ,a tertio in distantia 2/m 180° etc. Eodem modo linea secunda in distantia infinita a centro habebit asymptotam per aequationem cos mφ =0 expressam, quae est complexus m rectarum in puncto C sub aequalibus angulis itidem se secantium, ita tamen, vt prima cum axi CG constituat angulum 1/m 90° ,secunda angulum 3/m 90° ,tertia angulum 5/m 90° etc. Quare linea secunda etiam 2m ramos infinitos habebit, quorum singuli medium locum inter binos ramos proximos linea primae occupabunt, ita vt peripheriam circuli radio infinite magno descripti in punctis, quae 1/m 90° ,3/m 90° ,5/m 90° etc. ab axe distant, secent. Ceterum palam est, axem ipsum semper duos ramos infinitos lineae primae constituere, puta primum et m+1 tum . Luculentissime hic ramorum situs exhibetur in fig. 2, pro casu m=4 constructa, vbi rami lineae secundae, vt a ramis lineae primae distinguantur, punctati exprimuntur, quod etiam de figura quarta est tenendum. *8) Quum vero hae conclusiones maximi momenti sint, quantitatesque infinite magnae quosdam lectores offendere possint: illas etiam absque infinitorum subsidio in art. sequ. eruere docebo.