Latin
Lines 1.92-1.98
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.92-98
Not analysed yet
Si haec cum praecedentibus iunguntur, ex omnibus disquisitionibus explicatis colligetur, theorema, quamuis functionem algebraicam rationalem integram vnius indeterminatae in factores reales primi vel secundi gradus resolui posse ,omni rigore esse demonstratum.
23.
Ceterum haud difficile ex iisdem principiis deduci potest, non solum vnam sed ad minimum m intersectiones lineae primae cum secunda dari, quamquam etiam fieri potest, vt linea prima a pluribus ramis lineae secundae in eodem puncto secetur, in quo casu functio X plures factores aequales habebit. Attamen quum hic sufficiat, vnius intersectionis necessitatem demonstrauisse, fusius huic rei breuitatis caussa non immoror. Ex eadem ratione etiam alias harum linearum proprietates hic vberius non persequor, e. g. intersectionem semper fieri sub angulis rectis; aut si plura crura vtriusque curuae in eodem puncto conueniant, totidem crura lineae primae affore, quot crura lineae secundae, haecque alternatim posita esse, et sub aequalibus angulis se secare etc.
Denique obseruo, minime impossibile esse, vt demonstratio praecedens, quam hic principiis geometricis superstruxi, etiam in forma mere analytica exhibeatur: sed eam repraesentationem, quam hic explicaui, minus abstractam euadere credidi, verumque neruum probandi hic multo clarius ob oculos poni, quam a demonstratione analytica exspectari possit.
Coronidis loco adhuc aliam methodum theorema nostrum demonstrandi addigitabo, quae primo aspectu non modo a demonstratione praecedente, sed etiam ab omnibus demonstrationibus reliquis supra enarratis maxime diuersa esse videbitur, et quae nihilominus cum d'Alembertiana, si ad essentiam spectas, proprie eadem est. Cum qua illam comparare, parallelismumque inter vtramque explorare peritis committo, in quorum gratiam vnice subiuncta est.
24.
Supra planum figurae 4. relatiue ad axem CG punctumque fixum C descriptas suppono superficiem primam et secundam eodem modo vt supra. Accipe punctum quodcunque in aliquo ramo lineae primae situm siue vbi T=0 ,(e. g. quodlibet punctum M in axe iacens), et nisi in hoc etiam U=0 ,progredere ex hoc puncto in linea prima versus eam partem, versus quam magnitudo absoluta ipsius U decrescit. Si forte in puncto M valor absolutus ipsius U versus vtramque partem decrescit, arbitrarium est, quorsum progrediaris; quid vero faciendum sit, si U versus vtramque partem crescat, statim docebo. Manifestum est itaque, dum semper in linea prima progrediaris, necessario tandem te ad punctum peruenturum, vbi U=0 ,aut ad tale, vbi valor ipsius U fiat minimum, e. g. punctum N . In priori casu quod quaerebatur inuentum est; in posteriori vero demonstrari potest, in hoc puncto plures ramos lineae primae sese intersecare (et quidem multitudinem parem ramorum), quorum semissis ita comparati sint, vt si in aliquem eorum deflectas (siue huc siue illuc) valor ipsius U adhucdum decrescere pergat. (Demonstrationem huius theorematis, prolixiorem quam difficiliorem breuitatis gratia supprimere debeo.) In hoc itaque ramo iterum progredi poteris, donec U aut fiat =0 (vti in fig. 4. euenit in P ),aut denuo minimum. Tum rursus deflectes, necessarioque tandem ad punctum peruenies, vbi sit U=0 .