δ΄.

Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν· τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, γραφέωντι δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λαφθέντος σαμείου εὐθεῖα ποτὶ τᾷ περιφερείᾳ τᾷ διαμέτρῳ ποτʼ ὀρθάς, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ἀναστακεῖσα κάθετος. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ σαμεῖόν τι ἐπὶ διαμέτρου τᾶς ΑΓ τὸ △,καὶ ἀπὸ διαμέτρων τῶν Γ△, △Α ἁμικύκλια ἀναγεγράφθων ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ △σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ ἁ △Β φαμὶ δή, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον, τουτέστι τοῦ μείζονος ἁμικυκλίου καὶ τῶν δύο ἀναγραφέντων ἐντός, ὅπερ Et ἄρβηλος καλείσθω, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἴσον ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖαι αἱ △Α, △Β, △Γ ἑξῆς ἀνάλογόν ἐντι, ἐσσεῖται τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ τῷ ἀπὸ τᾶς Β△ ἴσον· κοινὸν ποτικείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν Α△, △Γ· τὸ ἄρα ἀπὸ τᾶς ὅλας τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ, τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἀπὸ τῶν Α△, △Γ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς Β△ ἐστὶν ἴσον. Καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλάλους ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων τετράγωνά ἐντι, ἐσσεῖται δὴ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ, ἴσος, τουτέστιν ἁμικύκλιον τὸ ΑΓ ἴσον κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶν ἁμικυκλίοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ· κοινὸν ἀφαιρήσθω ἁμικύκλια τὰ Α△, △Γ· λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ περιφερειῶν τᾶν ΑΓ, Α△, △Γ, ὅπερ ἄρβηλος καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἐστὶν ἴσον· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.