ε΄.

Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου εὐθεῖα τᾷ διαμέτρῳ ποτ᾿ ὀρθάς, καὶ δύο κύκλοι γραφέωντι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας ἐπιψαύοντες αὐτᾶς καὶ τῶν ἁμικυκλίων, οἱ γραφέντες κύκλοι ἐσσοῦνται ἀλλάλοις ἴσοι. Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, σαμεῖον δέ τι ἐπʼ αὐτᾶς τὸ Γ· ἀναγεγράφθω δὲ ἀπὸ τμαμάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς διαμέτρω τᾷ ΑΒ ἁ Γ△, γεγράφθων δὲ δύο κύκλοι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας ἐπιψαύοντες τᾶς τε ἀνεστακούσας καὶ τῶν ἁμικυκλίων· φαμὶ δή, οἱ γραφέντες κύκλοι ἴσοι ἀλλάλοις ἐντί. Ἔστω γὰρ πρότερον κύκλος ὁ ἐπιψαύων τᾶς Γ△ κατὰ τὸ Ε σαμεῖον καὶ ἁμικυκλίου μὲν τοῦ ΑΓ κατὰ τὸ H, ἁμικυκλίου δὲ τοῦ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΘΕ· ἐπιζευχθεῖσαι δὴ αἱ ΑΘ, ΘΖ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ ΑΖ, ΓΕ εὐθεῖαι συμβαλέτωσαν κατὰ τὸ △σαμεῖον ὁμοίως δὴ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΖΕ, ΕΒ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, καὶ αἱ ΘΗ, ΗΓ, καὶ αἱ ΕΗ. ΗΑ, ἐκβεβλήσθω δὲ ἁ ΑΕ ἐπὶ τὸ Ι σαμεῖον, ἄχθω δὲ ἁ ΒΙ εὐθεῖα καὶ ἁ Ζ△. Ἐπεὶ οὖν αἱ Α△, ΑΒ εὐθεῖαί ἐντι καὶ ἀπὸ τοῦ △σαμείου τᾷ ΑΒ ἆκται ποτʼ ὀρθὰς ἁ △Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ποτʼ ὀρθὰς τᾷ △Α ἁ ΒΖ τέμνουσα τὰν △Γ Bl, κατὰ τὸ Ε, εὐθεῖα δὲ ἁ ΑΕΙ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΒΙ ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΙ, Ι△ ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ ὀρθογωνίων τριγώνων δέδεικται Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Β△ παρὰ τὰν ΓΗ ἐστίν, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Θ, ὃν ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΘΕ, τουτέστιν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΘΕ ἐστὶν ἴσον· ὅμοίως δὴ δείξομες ὅτι ἐν κύκλῳ τῷ ΛΜΝ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ ΑΒ καὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἴσον ἐστίν· αἱ διάμετροι ἄρα κύκλων τῶν ἴσαι ἐντί, τουτέστιν οἱ δύο κύκλοι ἴσοι ἐντί· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.