ιβ΄.

Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ, ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας, ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται ταύτᾳ ποτʼ ὀρθάς. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ, σαμεῖον δὲ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ, καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ Γ△, ΓΕ ἐπίψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ △,Ε σαμεῖα, ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, △Β τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς. Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ Α△, ΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ △ΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β ὀρθά ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΑΒ, △ΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ, ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ, ΖΕΒ, τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, διᾶκται δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ κλου ἁ △Β τέμνουσα τὸν κύκλον, ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ Γ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΑΒ ἴσα διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα καὶ συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ, Γ△Ζ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ ἐστὶν ἴσα καὶ δέδεικται παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετραπλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομενᾶν, οἷον τᾶν Γ△, ΓΕ, δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμεναί, οἷον αἱ △Ζ, ΕΖ, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιεχομὲνα, ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ, συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν περιεχομένᾳ, ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε, △σαμείοις, ἴσα ἐστίν, ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθʼ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ σαμεῖον καθʼ ὃ αὗται τὲμνοντι ἀλλάλας, ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα, ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνομενᾶν εὐθειᾶν, ὡς αἱ Γ△, ΓΕ, ἐστὶν ἴσα· ἁ ΓΖ εὐθεῖα ἄρα τᾷ Γ△ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Γ△Ζ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ △ΑΗ· γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ ΓΖ△, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί· συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΗ, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν· λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετραπλεύρου τοῦ Α△ΖΗ αἱ ὑπὸ Α△Ζ, ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν· ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ △Η διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθάς· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.