Προτάσεις.

α΄. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν κάθετος ἡ Γ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν πόλων τῶν Α Β καὶ τῆς Γ∠ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν κύκλον. ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς, καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὐ κέντρον ἔσται τὸ ∠σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ ΑΒ ἄξονι [διὰ τὸ καὶ τὴν Γ∠ αἰεὶ διαμένειν τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθάς]. καὶ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΒ σημεῖα πόλοι ἔσονται τοῦ γραφέντος κύκλου, ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ ΑΒ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ ΑΒ ἄξονι τοὺς αὐτούς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ. οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτούς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσί· πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.